Linearização

Em matemática e suas aplicações, linearização refere-se a encontrar a aproximação linear de uma função em um dado ponto. No estudo de sistemas dinâmicos, linearização é um método para avaliar-se a estabilidade local de um ponto de equilíbrio de um sistema de equações diferenciais não lineares ou sistemas dinâmicos discretos.^[1] Este método é usado em campos tais como engenharia, física, economia e ecologia.

Linearização de uma função

Linearizações de funções são funções lineares geralmente usadas com propósito de realizar cálculos específicos. Linearizar é um método eficaz de aproximar a imagem de uma função ${\displaystyle y=f(x)}$ em qualquer ${\displaystyle x=a}$ baseando-se na inclinação da reta tangente da função em ${\displaystyle x=b}$, desde que ${\displaystyle f(x)}$ seja contínua em ${\displaystyle [a,b]}$ (ou ${\displaystyle [b,a]}$) e ${\displaystyle a}$ esteja suficientemente próximo de ${\displaystyle b}$.

Por exemplo: você provavelmente sabe que ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$. Mas sem uma calculadora, como seria possível calcular ${\displaystyle {\sqrt {4,001}}}$?

Seja ${\displaystyle L_{a}(x)}$ a função correspondente à linearização de ${\displaystyle f(x)}$ em ${\displaystyle a}$, a propriedade da Localidade Linear nos diz que qualquer função diferenciável num ponto é linear naquele ponto, ou seja, sob um certo nível de zoom, seu gráfico assemelhar-se-á a uma reta. Essa reta é justamente a reta tangente da função naquele ponto específico.

Sendo assim, a linearização (aproximação de Taylor de primeira ordem) da função ${\displaystyle f(x)}$ no ponto ${\displaystyle x=a}$ será: ${\displaystyle y-f(a)=m(x-a)}$ ou ${\displaystyle y=f(a)+m(x-a)}$, em que ${\displaystyle m}$ é a inclinação da reta, que corresponde à derivada da função ${\displaystyle f(x)}$ em ${\displaystyle a}$. A equação final para a fórmula do cálculo da linearização é:

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a)}$

Exemplo

Para encontrar ${\displaystyle {\sqrt {4,001}}}$ nós podemos usar o fato de que ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$. A linearização de ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ no ponto ${\displaystyle x=a}$ é

${\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}$

Substituindo ${\displaystyle a}$ por 4, temos:

${\displaystyle y=2+{\frac {1}{4}}(x-4)}$

Nesse caso, ${\displaystyle x=4,001}$, então:

${\displaystyle y=2+{\frac {1}{4}}(0,001)=2.00025}$

Perceba que o verdadeiro valor de ${\displaystyle {\sqrt {4,001}}}$ é ${\displaystyle 2,000249984}$, portanto esta linearização possui um erro de ${\displaystyle 0,000000016}$.

Ver também

• Proporção direta
• Reta tangente
• Cálculo diferencial
• Séries de Taylor

Referências

1. O problema da linearização em sistemas dinâmicos unidimensionais complexos na Scholarpedia (em inglês).