Lei de Biot-Savart

A Lei de Biot-Savart é uma equação do Eletromagnetismo que fornece o campo magnético ${\displaystyle \mathbf {B} }$ gerado por uma corrente elétrica ${\displaystyle \mathbf {I} }$ constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da Magnetostática. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida para a Magnetostática, tendo assim um papel semelhante à Lei de Coulomb na Eletrostática.^[1]

Ilustração representando os termos envolvidos na Lei de Biot Savart

Motivação histórica

Ilustração esquemática do experimento de Oersted.

Já no século XVII havia, dentro da comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa do fenômeno.

A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição de corrente elétrica.^[2]

A equação

Distribuições unidimensionais

Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'}$

Nessa equação, ${\displaystyle dl'}$ é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, ${\displaystyle \mathbf {I} }$ é o vetor corrente elétrica e ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$ é o versor ao longo da linha que une o elemento infinitesimal de comprimento ${\displaystyle dl'}$, cuja posição é ${\displaystyle \mathbf {r'} }$, ao ponto de cálculo do campo ${\displaystyle \mathbf {r} }$:

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}={\frac {\boldsymbol {\eta }}{|{\boldsymbol {\eta }}|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}}$,

e a constante ${\displaystyle \mu _{0}}$ é a chamada permeabilidade magnética do vácuo

Distribuições bidimensionais

Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais de corrente:



${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {K} \mathbf {(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}da'}$

Onde ${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {(r')} }$ é a corrente por unidade de comprimento-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade superficial de corrente. Escreve-se:



${\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{dl_{\perp }}}}$

Distribuições tridimensionais

Para distribuições tridimensionais de corrente: ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J(r')} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}d\tau '}$

Onde ${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {(r')} }$ é a corrente por unidade de área-perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:

${\displaystyle \mathbf {J} \mathbf {(r')} ={\frac {d\mathbf {I} }{da_{\perp }}}}$

Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento ${\displaystyle d\mathbf {l'} }$ deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área ${\displaystyle d\mathbf {a'} }$ no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume ${\displaystyle d\mathbf {\tau '} }$ no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.^[3]

Aplicações

Campo de uma corrente retilínea num fio condutor

Ilustração do problema

A Lei de Biot-Savart pode ser empregada para calcular o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade ${\displaystyle I}$ passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto ${\displaystyle P}$ a uma distância ${\displaystyle R}$ do fio. Pela regra da mão direita vemos que o produto vetorial ${\displaystyle d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }$, para ${\displaystyle R}$ fixo, está contido em círculos de raio ${\displaystyle R}$ em torno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}$. Trabalhando em termos do ângulo ${\displaystyle \theta }$: ${\displaystyle dl'\sin \alpha =dl'\cos \theta }$

Como ${\displaystyle l'=R\tan \theta }$: ${\displaystyle dl'={\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}d\theta }$

E como ${\displaystyle R=r\cos \theta }$: ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}={\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}}$

Para um trecho de fio indo de ${\displaystyle \theta _{1}}$ a ${\displaystyle \theta _{2}}$:



${\displaystyle \mathbf {B(r)} ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{R^{2}}}\right)\left({\frac {R}{\cos ^{2}\theta }}\right)\cos \theta d\theta ={\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\cos \theta d\theta ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})}$



Se o fio for infinito, então ${\displaystyle \theta _{1}=-{\frac {\pi }{2}}}$ e ${\displaystyle \theta _{2}={\frac {\pi }{2}}}$ e a expressão fica apenas: ${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}}$ ^[4]

Campo no centro de um polígono de n lados

Geometria de um quadrado

De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus lados vale: ${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}(\sin \theta _{2}-\sin \theta _{1})\mathbf {\hat {z}} ,}$

já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos gerados por cada um de seus lados: ${\displaystyle \mathbf {B({\textrm {centro}})} ={\sqrt {2}}{\frac {\mu _{0}I}{\pi R}}\mathbf {\hat {z}} }$

onde ${\displaystyle R}$ é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo ${\displaystyle \theta _{1}=-\theta _{2}=-{\frac {\pi }{n}}}$. Então obtemos: ${\displaystyle \mathbf {B} =n{\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\mathbf {\hat {z}} }$ ^[3]

Campo de uma espira circular no eixo

Campo de uma espira circular

Consideremos uma espira circular de raio ${\displaystyle R}$ percorrida por uma corrente estacionária de intensidade ${\displaystyle I}$. Podemos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância ${\displaystyle z}$ do eixo. Lembrando que: ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {I} \times \mathbf {\hat {\boldsymbol {\eta }}} }{\eta ^{2}}}dl'}$

No caso da espira circular: ${\displaystyle \eta ={\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}$

Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que: ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {R}{r}}={\frac {R}{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}}$

Logo: ${\displaystyle \mathbf {B} ({\text{eixo}})=\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\frac {dl}{\eta ^{2}}}\sin \alpha =\mathbf {\hat {z}} {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I{\frac {R}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}}{2}}I{\frac {R^{2}}{(z^{2}+R^{2})^{3/2}}}\mathbf {\hat {z}} }$^[5]

Direção das linhas de campo magnético

Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:

${\displaystyle d\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {d\mathbf {l} \times {\hat {\boldsymbol {r}}}}{r^{2}}}}$

que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá a direção do pseudo-vetor ${\displaystyle d\mathbf {l} \times {\hat {\mathbf {r} }}}$, que é dada pela regra da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.^[5]

Ver também

• Lei de Ampère
• Eletromagnetismo
• Produto vetorial
• Integral de linha
• Campo magnético
• Potencial magnético

Referências

1. Feynman et al. The Feynman Lectures on Physics vol. 2, 2ª ed., editora Bookman, 2008.
2. Whittaker, E. T, A History of the Theories of Aether and Electricity, 1910.
3. Griffiths, D. J., Eletrodinâmica p. xv, 3a ed Pearson Addison Wesley, 2011.
4. H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica 3, 1ª ed., editora Blucher.
5. H. D. Young & R. A. Freedman, Física III: Eletromagnetismo, 12ª. ed., editora Pearson, São Paulo, Brasil, 2009.

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