Lei da gravitação universal

A lei da gravitação universal afirma que, se dois corpos possuem massa, ambos estão submetidos a uma força de atração mútua proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade.^[1] Essa lei foi formulada pelo físico inglês Isaac Newton em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada em 1687, que descreve a lei da gravitação universal e as Leis de Newton — as três leis dos corpos em movimento que assentaram-se como fundamento da mecânica clássica.^[2]

A gravidade é uma força fundamental de atração que age entre todos os objetos por causa de suas massas, isto é, a quantidade de matéria de que são constituídos. A gravidade mantém os objetos celestes unidos e ligados, como os gases quentes contidos pelo Sol e os planetas, confinados às suas órbitas. A gravidade da Lua causa as marés oceânicas na Terra. Por causa da gravitação, os objetos sobre a Terra são atraídos para seu centro.

História

Ainda que os efeitos da gravidade sejam fáceis de notar, a busca de uma explicação para a força gravitacional tem embaraçado o homem durante séculos. O filósofo grego Aristóteles empreendeu uma das primeiras tentativas de explicar como e por que os objetos caem em direção à Terra. Entre suas conclusões, estava a ideia de que os objetos pesados caem mais rápido que os leves. Embora alguns tenham se oposto a essa concepção, ela foi comumente aceita até o fim do século XVII, quando as descobertas do cientista italiano Galileu Galilei ganharam aceitação. De acordo com Galileu, todos os objetos caíam com a mesma aceleração, a menos que a resistência do ar ou alguma outra força os freasse.

Sir Isaac Newton, o primeiro a formular a lei da gravitação universal.

Os antigos astrônomos gregos estudaram os movimentos dos planetas e da Lua. Entretanto, o paradigma aceito hoje foi determinado por Isaac Newton, físico e matemático inglês, baseado em estudos e descobertas feitas pelos físicos que até então trilhavam o caminho da gravitação. Como Newton mesmo disse, ele chegou a suas conclusões porque estava "apoiado em ombros de gigantes". No início do século XVII, Newton baseou sua explicação em cuidadosas observações dos movimentos planetários, feitas por Tycho Brahe e por Johannes Kepler. Newton estudou o mecanismo que fazia com que a Lua girasse em torno da Terra. Estudando os princípios elaborados por Galileu Galilei e por Johannes Kepler, conseguiu elaborar uma teoria que dizia que todos os corpos que possuíam massa sofreriam atração entre si.

Galileu Galilei previamente estabeleceu uma relação entre a queda dos corpos e os movimentos planetários. Alguns contemporâneos de Newton, como Robert Hooke, Christopher Wren e Edmund Halley, também fizeram avanços significativos no entendimento da gravitação. No entanto, foi Newton quem primeiramente propôs uma forma matemática precisa e a utilizou para demonstrar que os corpos celestes deveriam seguir trajetórias em forma de seções cônicas, incluindo círculos, elipses, parábolas e hipérboles. Essa projeção teórica foi um triunfo notável, uma vez que já se sabia há algum tempo que luas, planetas e cometas seguiam essas trajetórias, mas ninguém havia sido capaz de elucidar o mecanismo que os levasse a seguir essas trajetórias específicas e não outras. A magnitude da força em cada objeto (um tem massa maior que o outro) é a mesma, de acordo com a terceira lei de Newton.^[3]

A partir das leis de Kepler, Newton mostrou que tipos de forças devem ser necessárias para manter os planetas em suas órbitas. Ele calculou como a força deveria ser na superfície da Terra. Essa força provou ser a mesma que dá à massa sua aceleração.

Diz uma lenda que, quando tinha 23 anos, Newton viu uma maçã cair de uma árvore e compreendeu que a mesma força que a fazia cair mantinha a Lua em sua órbita em torno da Terra.

Conforme os primeiros relatos, Newton encontrou sua inspiração para estabelecer a relação entre a queda dos corpos e os movimentos astronômicos ao testemunhar uma maçã caindo de uma árvore. Esse evento o levou a uma percepção crucial: se a força gravitacional pudesse estender-se além do solo até a árvore, também poderia alcançar o Sol. A anedota da maçã de Newton tornou-se parte do folclore mundial, embora sua veracidade possa estar ancorada em fatos.^[3]

A importância atribuída a essa inspiração está ligada ao fato de que as leis universais da gravitação de Newton e suas leis do movimento responderam a questionamentos ancestrais sobre a natureza, fornecendo um sólido suporte à noção de simplicidade e unidade subjacentes à realidade natural. Os cientistas ainda anseiam que a simplicidade subjacente seja revelada através de suas contínuas investigações sobre a natureza.

Corpos de simetria esférica e a gravitação

As partículas dos corpos que possuem uma distribuição de massa simetricamente esférica, como estrelas, luas e planetas, tendem a se aproximar do centro de massa. Assim, um acumulado de poeira cósmica ao aglutinar-se, as partículas começam a se aproximar de forma uniforme, pois quanto mais acumuladas, mais força têm para comprimi-las. Por isso os corpos geralmente assumem uma forma esférica, visto que, quando sua massa é pequena esse efeito é bastante baixo e os corpos podem ter alterações em seus formatos.^[4]

Formulação da Lei da Gravitação Universal

Dois corpos puntiformes m₁ e m₂ atraem-se exercendo entre si forças de mesma intensidade F₁ e F₂, proporcionais ao produto das duas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância (r) entre elas. G é a constante gravitacional.

A lei da gravitação universal diz que duas partículas quaisquer do Universo se atraem gravitacionalmente por meio de uma força que é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

A força gravitacional é sempre atrativa e sua magnitude depende apenas das massas das partículas envolvidas e da distância que as separa. Expressando-se na linguagem moderna, a lei universal da gravitação de Newton estabelece que cada partícula no universo exerce uma atração em todas as outras partículas ao longo de uma linha que as conecta.^[3]

Se os corpos não são de partículas ou não podem ser considerados como pontos materiais, a distância estabelecida entre elas deve ser medida em relação ao centro de massa delas, ou seja pontos onde pode-se supor que está concentrada toda a massa do corpo ou o sistema de corpos.

$${\displaystyle {\vec {F}}_{1}=-{\vec {F}}_{2}=||{\vec {F}}||{\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{3}}}{\vec {r}}}$$

onde

F₁ (F₂) é a força, sentida pelo corpo 1 (2) devido ao corpo 2 (1), medida em newtons;

${\displaystyle G=6,67\times 10^{-11}{\text{Nm}}^{2}/{\text{kg}}^{2}}$ é constante gravitacional universal, que determina a intensidade da força,

m ₁ e m₂ são as massas dos corpos que se atraem entre si, medidas em quilogramas; e

r é a distância entre os dois corpos, medida em metros;

${\displaystyle {\hat {r}}}$ o versor do vetor que liga o corpo 1 ao corpo 2.

A constante gravitacional universal foi medida anos mais tarde por Henry Cavendish. A descoberta da lei da gravitação universal se deu em 1685 como resultado de uma série de estudos e trabalhos iniciados muito antes.

O estabelecimento de uma lei de gravitação, que unifica todos os fenômenos terrestres e celestes de atração entre os corpos, teve enorme importância para a evolução da ciência moderna.

A lei da gravitação de Newton leva a observação de Galileu, de que todas as massas caem com a mesma aceleração, a um passo adiante, explicando essa observação em termos de uma força que faz com que os objetos caiam - na verdade, em termos de uma força de atração universal existente entre as massas.^[3]

Problema de Kepler

O problema de Kepler é um caso especial do problema dos dois corpos, em que os dois corpos interagem por uma força central que varia proporcionalmente ao inverso do quadrado da distância.^{[carece de fontes?]} Esse problema resume-se a usar a segunda lei de Newton para escrever as equações de movimento do sistema, descobrindo sua trajetória no espaço. Isto é:

${\displaystyle {\vec {F}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}}$

Sistema polar de coordenadas

Um sistema de coordenadas adequado para resolver o problema é o sistema de coordenadas polares, de coordenadas ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$, que se relacionam com as coordenadas cartesianas ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ da seguinte maneira:^[5]

${\displaystyle x=r\cos \theta }$

${\displaystyle y=r\sin \theta }$

Para resolver o problema, é necessário saber como a aceleração ${\displaystyle {\vec {a}}}$ é escrita em coordenadas polares, isto é, como combinação linear dos versores ${\displaystyle {\hat {r}}}$ e ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$. Como ${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}}$, basta derivar duas vezes o vetor posição ${\displaystyle {\vec {r}}}$ em relação ao tempo para encontrar a aceleração. Em coordenadas polares:

${\displaystyle {\vec {r}}=r{\hat {r}}}$

Derivando a expressão, pela regra do produto:

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\hat {r}}}}$

Para encontrar ${\displaystyle {\dot {\hat {r}}}}$ é necessário recorrer às seguintes relações:

${\displaystyle {\hat {r}}=(\cos \theta ){\hat {x}}+(\sin \theta ){\hat {y}}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}=(-\sin \theta ){\hat {x}}+(\cos \theta ){\hat {y}}}$

Daí se conclui que ${\displaystyle {\dot {\hat {r}}}={\dot {\theta }}{\hat {\theta }}}$ e, portanto:^[6]

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}}$

Derivando mais uma vez e usando a relação ${\displaystyle {\dot {\hat {\theta }}}=-{\dot {\theta }}{\hat {r}}}$:^[6]

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}}$

Resolução da segunda lei de Newton

Pela segunda lei de Newton:

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}}$

Cancelando a massa ${\displaystyle m}$ de ambos os lados da equação e escrevendo ${\displaystyle {\vec {a}}={\ddot {\vec {r}}}}$ em coordenadas polares, obtém-se a seguinte equação vetorial:

${\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}=\left(-{\frac {GM}{r^{2}}}\right){\hat {r}}}$

Originando duas equações escalares de movimento:^[7]

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}$ ${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0}$ ${\displaystyle (2)}$

Multiplicando ${\displaystyle (2)}$ por ${\displaystyle mr}$, percebe-se que há conservação do momento angular ${\displaystyle L}$:^[7]

${\displaystyle mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})={\frac {dL}{dt}}=0}$

${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}}$

Eliminando ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ em ${\displaystyle (1)}$ através de ${\displaystyle (2)}$ pela relação ${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}}$, obtém-se:

${\displaystyle {\ddot {r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}$

Tal equação diferencial de ${\displaystyle r}$ em função de ${\displaystyle t}$ pode ser modificada de modo que ${\displaystyle r}$ seja uma função de ${\displaystyle \theta }$ modificando a segunda derivada temporal através da regra da cadeia:

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)={\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {d\theta }{dt}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)={\frac {L}{mr^{2}}}\left[{\frac {dr}{d\theta }}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {L}{mr^{2}}}\right){\frac {dr}{d\theta }}+\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-{\frac {{2}L^{2}}{m^{2}r^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}$

Resulta, então a seguinte equação para a função ${\displaystyle r(\theta )}$:

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-{\frac {{2}L^{2}}{m^{2}r^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}$ ${\displaystyle (3)}$

Para resolver ${\displaystyle (3)}$, define-se a função ${\displaystyle u(\theta )\equiv {\frac {1}{r(\theta )}}}$ e, consequentemente, suas derivadas em relação a ${\displaystyle \theta }$:^[7]

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

Substituindo essas novas relações em ${\displaystyle (3)}$:

${\displaystyle -{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left[{\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}+{\frac {1}{r}}\right]=-{\frac {GM}{r^{2}}}}$

${\displaystyle -{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left({\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u\right)=-{\frac {GM}{r^{2}}}}$

Resultando, finalmente, na equação do oscilador harmônico:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}}$

Cuja solução geral pode ser escrita como:^[7]

${\displaystyle u(\theta )={\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}+A\cos \left(\theta -\delta \right)}$

Em que ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \delta }$ são constantes arbitrárias. É conveniente escrever ${\displaystyle A={\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}\epsilon }$, em que ${\displaystyle \epsilon }$ é a nova constante, denominada excentricidade. Assim, ${\displaystyle r(\theta )}$ resulta ser:^[7]

${\displaystyle r(\theta )={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}{\frac {1}{1+\epsilon \cos \left(\theta -\delta \right)}}}$

Ver também

• Galileu Galilei
• Gravidade
• Isaac Newton
• Johannes Kepler
• Leis de Newton
• Leis de Kepler
• Tycho Brahe

Referências

1. «Gravitação Universal». Só Física
2. Silva, Lucas Henrique dos Santos. «Lei da Gravitação Universal». InfoEscola
3. URONE, Paul Peter; HINRICHS, Roger (2019). College Physics. Texas: XanEdu Publishing Inc. pp. 217–228
4. Young, Hugh, Freedman, Roger A (2008). Física II: Termodinâmica e Ondas. São Paulo: Pearson. p. 2. ISBN 978-85-88639-33-1
5. Nascimento, Mauri C. «Coordenadas Polares» (PDF)
6. Martins, Jorge Sá. «Os vetores velocidade e aceleração em coordenadas polares bidimensionais». Youtube
7. «Deriving Kepler's Laws». Brilliant

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