Hiperplano

Um hiperplano é um conceito em geometria. Ele é a generalização do plano em diferentes números de dimensões.

Na geometria, um hiperplano pode ser um espaço vetorial, transformação afim ou o sub-espaço de dimensão n-1. Em particular, num espaço tridimensional um hiperplano é um plano habitual. Num espaço bidimensional, um hiperplano é uma reta. Num espaço unidimensional, um hiperplano é um ponto.

Denomina-se hiperplano em ${\displaystyle \chi }$ (por exemplo, ${\displaystyle \chi =\mathbb {R} ^{N}}$) um conjunto de elementos tais que

${\displaystyle H=\left[x\in \chi :p^{T}\cdot x=b\right]}$

, sendo ${\displaystyle p}$ um vetor não-nulo normal a ${\displaystyle H}$ e também pertence a ${\displaystyle \chi }$, e ${\displaystyle b}$ pertence ao conjunto dos números reais.^[1]

Um hiperplano é um espaço vetorial se ${\displaystyle b=0}$

Hiperplano nos números reais

Um hiperplano em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ é calculado tendo as coordenadas do ponto, em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ tendo as coordenadas de um ponto qualquer da reta e sua direção, sendo essa direção tanto em coordenadas polares (em função ângulo agudo formado com o eixo ${\displaystyle x}$) ou tanto como vetorial. Em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ é possível calcular tendo um ponto do plano e o vetor normal a ele, sendo este composto pelos coeficientes de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$, respectivamente.

Exemplo

${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

P = ${\displaystyle (x_{o},y_{o},z_{o})}$
P = ${\displaystyle (1,0,3)}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

r: ${\displaystyle x=x_{o}+at}$                        vetor diretor ${\displaystyle (a,b,c)}$
   ${\displaystyle y=y_{o}+bt}$                        ponto arbitrário ${\displaystyle (x_{o},y_{o},z_{o})}$
   ${\displaystyle z=z_{o}+ct}$

r: ${\displaystyle x=2+3t}$
   ${\displaystyle y=3+4t}$
   ${\displaystyle z=2t}$

O ponto escolhido no exemplo foi P = ${\displaystyle (2,3,0)}$ e o vetor foi ${\displaystyle v=(3,4,2)}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ ${\displaystyle vetornormal=(a,b,c)}$ ${\displaystyle 2x+3y-z=15}$ Vetor normal ao plano ${\displaystyle v=(2,3,-1)}$.

Propriedades

• Um hiperplano em um espaço de dimensão ${\displaystyle n}$ é um conjunto afim com dimensão ${\displaystyle n-1}$.
• Um hiperplano divide o espaço em dois semi-espaços fechados e convexos, mas não afins^[1]
• Um hiperplano pode ser descrito por uma equação linear não degenerada na seguinte forma:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}=b\,\!}$