Distribuição gama

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição gama é uma família de distribuições contínuas de probabilidade de dois parâmetros. Diversos tipos de distribuições são dependentes, ou são casos específicos da distribuição gama, como a distribuição exponencial e a distribuição qui-quadrado. A distribuição gama é usada para modelar valores de dados positivos que são assimétricos à direita e maiores que 0. Ela é comumente usada em estudos de sobrevivência de confiabilidade. 

Gama
Plotagem da função densidade de probabilidade de distribuições gama
Plotagem da função de distribuição acumulada de distribuições gama
Parâmetros	${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \theta >0}$
Suporte	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
f.d.p.	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k\,-\,1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}$
f.d.a.	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,\,{\frac {x}{\theta }}\right)}$
Média	${\displaystyle \mathbf {E} [X]=k\theta }$ ${\displaystyle \mathbf {E} [\ln X]=\psi (k)+\ln(\theta )}$ (veja função digama)
Moda	${\displaystyle (k-1)\theta }$ para ${\displaystyle k\geq 1}$
Variância	${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=k\theta ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [\ln X]=\psi _{1}(k)}$ (veja função trigama)
Obliquidade	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Entropia	${\displaystyle {\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln[\Gamma (k)]\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}}$
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle (1-\theta t)^{-k}}$ para ${\displaystyle t<{\frac {1}{\theta }}}$
Função Característica	${\displaystyle (1-\theta it)^{-k}}$

Existem três diferentes parametrizações no uso comum:

1. Com um parâmetro de forma ${\displaystyle k}$ e um parâmetro de escala ${\displaystyle \theta }$.
2. Com um parâmetro de forma ${\displaystyle \alpha =k}$ e um parâmetro de escala inversa ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\theta }}}$, chamado parâmetro de taxa.
3. Com um parâmetro de forma ${\displaystyle k}$ e um parâmetro média ${\displaystyle \mu ={\frac {k}{\beta }}}$.

Em cada uma dessas formas, ambos os parâmetros são números reais positivos.

ra a qual ${\displaystyle E[X]=k\theta ={\frac {\alpha }{\beta }}}$ é fixada e maior que zero, e ${\displaystyle E[ln(X)]=\psi (k)+ln(\theta )=\psi (\alpha )-ln(\beta )}$ é fixado (${\displaystyle \psi }$ é a função digama).^[1]

Dentro da distribuição gama uma importante propriedade é o fato de que à medida que ${\displaystyle \theta }$ aumenta, essa distribuição se aproxima de uma Normal com média µ e variância ${\displaystyle \theta }$ µ²= µ²/v

Por exemplo, a distribuição gama pode descrever o tempo de um componente elétrico de falhar. A maioria dos componentes elétricos de um determinado tipo falharão na mesma época, mas alguns vão demorar muito tempo para falhar.

Parametrização

A parametrização com ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle \theta }$ parece ser mais comum em econometria e em outros campos de aplicação, onde por exemplo, a distribuição gama é frequentemente usada para modelar tempos de espera. A parametrização com ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ é mais comum em estatística bayesiana, onde a distribuição gama é usada como uma distribuição conjugada a priori para vários tipos de parâmetros de escala inversa (também conhecido como parâmetros de taxa), assim como o ${\displaystyle \lambda }$ de uma distribuição exponencial ou uma distribuição de Poisson^[2].

Se ${\displaystyle k}$ é um inteiro positivo, então a distribuição representa uma distribuição Erlang, isto é, a soma de ${\displaystyle k}$ variáveis aleatórias exponencialmente distribuídas, cada uma das quais tem média ${\displaystyle \theta }$

Caracterização usando ${\displaystyle \alpha }$ e taxa ${\displaystyle \beta }$

A distribuição gama pode ser parametrizadas em termos de um parâmetro de forma ${\displaystyle \alpha =k}$ e o parâmetro de escala inversa ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\theta }}}$, chamado parâmetro de taxa. Uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ que é distribuída sob gama com forma ${\displaystyle \alpha }$ e taxa ${\displaystyle \beta }$ é denotada

${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv {\textrm {Gama}}(\alpha ,\beta )}$

A função densidade de probabilidade correspondente na parametrização forma-taxa é

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ para }}x>0{\text{ e }}\alpha ,\beta >0}$,

onde ${\displaystyle {\Gamma (\alpha )}}$ é uma função gama completa. Para todos os inteiros positivos ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!}$

A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}}}$

onde ${\displaystyle \gamma (\alpha ,\beta x)}$ é a função gama incompleta inferior.

Se ${\displaystyle \alpha }$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma Distribuição Erlang), a função de distribuição acumulada tem a seguinte expansão em séries:^[3]

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}}$

Caracterização usando a forma ${\displaystyle k}$ e escala ${\displaystyle \theta }$

Uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ que é distribuída sob gama com parâmetro de forma ${\displaystyle k}$ e escala ${\displaystyle \theta }$ é denotada por

${\displaystyle X\sim \Gamma (k,\theta )\equiv {\textrm {Gama}}(k,\theta )}$

Ilustração de uma função densidade de probabilidade para valores de parâmetros ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle x}$ com ${\displaystyle \theta }$ ajustado para 1, 2,3,4,5 e 6.

A função densidade de probabilidade usando a parametrização forma-escala é

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text{ para }}x>0{\text{ e }}k,\theta >0.}$

Aqui ${\displaystyle \Gamma (k)}$ é a função gama avaliada em ${\displaystyle k}$.

A função de distribuição acumulada é a função gama regularizada:

${\displaystyle F(x;k,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}{\Gamma (k)}}}$

onde ${\displaystyle \gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}$ é a função gama incompleta inferior.

Também pode ser expressa como segue, se ${\displaystyle k}$ é um inteiro positivo (isto é, a distribuição é uma distribuição Erlang):^[3]

${\displaystyle F(x;k,\theta )=1-\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}e^{-x/\theta }=e^{-x/\theta }\sum _{i=k}^{\infty }{\frac {1}{i!}}\left({\frac {x}{\theta }}\right)^{i}}$

Aplicações

Este tipo de distribuição geralmente é aplicada quando se quer fazer algum tipo de analise ligada ao tempo de vida de algum tipo de produto. Por exemplo em um painel elétrico, os mesmo componentes elétricos tem a sua duração (vida útil) aproximadamente igual, ou seja vão durar o mesmo período de tempo, porem alguns podem durar muito mais.

Referências

1. Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). «Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model» (PDF). Elsevier. Journal of Econometrics: 219-230. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Consultado em 29 de junho de 2017
2. Scalable Recommendation with Poisson Factorization, Prem Gopalan, Jake M. Hofman, David Blei, arXiv.org 2014
3. Papoulis, Pillai, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, Fourth Edition

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