Distribuição Erlang

A distribuição Erlang é uma distribuição de probabilidade contínua com uma ampla aplicabilidade, principalmente devido à sua relação com a distribuição exponencial e a distribuição gama. A distribuição Erlang foi desenvolvida por Agner Krarup Erlang para analisar o número de chamadas telefônicas que poderiam ser feitas simultaneamente aos operadores das estações de comutação. Atualmente esta distribuição é utilizada em várias áreas que aplicam processos estocásticos.

Distribuição Erlang
Parâmetros	${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \lambda >0}$
Suporte	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
f.d.p.	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}}$
f.d.a.	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}}$
Média	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}}$
Moda	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}(k-1)}$
Variância	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda ^{2}}}}$
Obliquidade	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Entropia	${\displaystyle (1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k}$
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}}$ para ${\displaystyle t<\lambda }$
Função Característica	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}}$

Sua função densidade de probabilidade é dada por

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{para }}x,\lambda \geq 0.}$

Uma alternativa usa o parâmetro de escala ${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\lambda }}}$:

${\displaystyle f(x;k,\mu )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\mu }}}}{\mu ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{para }}x,\mu \geq 0.}$

Sua função distribuição acumulada pode ser expressa por

${\displaystyle F(x;k,\lambda )={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}}$

sendo ${\displaystyle \gamma (.,.)}$ a função gama incompleta que é dada por

${\displaystyle \gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!}$

Outra expressão para a função distribuição acumulada é

${\displaystyle F(x,k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}}{n!}}}$

Entre as aplicaçações desta distribuição, a distribuição Erlang, mede o tempo entre as chamadas recebidas e pode ser usado em conjunto com a duração prevista de chamadas telefônicas para produzir informações sobre o tráfego medido em Erlang unidades. Pode ser usado para determinar a probabilidade de perda de pacotes ou atrasos em uma rede de computadores que utiliza algum protocolo de internet.

No ponto de vista dos processos estocásticos, a distribuição Erlang é a distribuição da soma de ${\displaystyle k}$ variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas exponencialmente^[1].

Referências

1. Cox, D.R. (1967) Renewal Theory, p20, Methuen.