Desigualdade de Jensen

Em matemática, a desigualdade de Jensen, em homenagem ao matemático dinamarquês Johan Jensen, relaciona o valor de uma função convexa de uma integral com a integral da função convexa. Ela foi provada por Jensen em 1906,^[1] com base em uma demonstração anterior da mesma desigualdade para funções duplamente diferenciáveis ​​por Otto Hölder em 1889.^[2] Dada sua generalidade, a desigualdade aparece em muitas formas, dependendo do contexto, algumas das quais são apresentadas abaixo. Em sua forma mais simples, a desigualdade afirma que a transformação convexa de uma média é menor ou igual à média aplicada após a transformação convexa; é um corolário simples que o oposto é verdadeiro para transformações côncavas.^[3]

A desigualdade de Jensen generaliza a afirmação de que uma linha secante de uma função convexa está acima de seu gráfico

Visualizando a convexidade e a desigualdade de Jensen

A desigualdade de Jensen generaliza a afirmação de que a linha secante de uma função convexa está acima do gráfico da função, que é a desigualdade de Jensen para dois pontos: a linha secante consiste em médias ponderadas da função convexa (for t ∈ [0,1]),

${\displaystyle tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),}$

enquanto o gráfico da função é a função convexa das médias ponderadas,

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2}).}$

Assim, a desigualdade de Jensen é

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}$

No contexto da teoria da probabilidade, geralmente é declarado da seguinte forma: se X é uma variável aleatória e φ é uma função convexa, então

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}$

A diferença entre os dois lados da desigualdade, ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right]-\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)}$, é chamado de intervalo de Jensen.^[4]

Ver também

• Limite de Chernoff

Referências

1. Jensen, J. L. W. V. (1906). «Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes». Acta Mathematica. 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571
2. Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013). «Necessary and sufficient conditions for the validity of Jensen's inequality». Archiv der Mathematik. 100 (6): 561–570. MR 3069109. doi:10.1007/s00013-013-0522-3
3. Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopuhaa, H.P.; Meester, L.E. (2005). A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How. Col: Springer Texts in Statistics. London: Springer. ISBN 978-1-85233-896-1. doi:10.1007/1-84628-168-7
4. Gao, Xiang; Sitharam, Meera; Roitberg, Adrian (2019). «Bounds on the Jensen Gap, and Implications for Mean-Concentrated Distributions» (PDF). The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications. 16 (2). arXiv:1712.05267