Delta de Kronecker

Na matemática, o delta de Kronecker, assim chamado em honra a Leopold Kronecker, é a notação ${\displaystyle \delta _{ij}}$ definida por:^[1]

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

ou, usando o colchete de Iverson:

${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]}$

Note-se que, a rigor, o delta de Kronecker não é uma função, pois ele pode ser usado com qualquer símbolo matemático. Seu uso mais comum é como função de domínio ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ mas pode ter outros domínios restrições ou outros conjuntos mais gerais.

O delta de Kronecker forma o elemento de identidade multiplicativo de uma álgebra de incidência.

Na Álgebra Linear utilizamos o Delta de Kronecker para identificar um Conjunto Ortonormal, que é um conjunto cujos vetores além de serem ortogonais dois a dois têm norma igual a um, ou seja, são unitários. Nesse caso, tomando dois vetores distintos do conjunto temos que seu produto interno será zero (pois são ortogonais) formando um ângulo reto entre si. Mas se tomarmos um mesmo vetor duas vezes, o ângulo será nulo e tanto o seu cosseno quanto o produto interno serão, também, iguais a 1. Logo, podemos identificar um conjunto Ortonormal da seguinte forma:

${\displaystyle \langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij},\forall \,i,j\in \{1,\cdots ,n\}.}$

Referências

1. Weisstein, Eric W. «Kronecker Delta» (em inglês). MathWorld. Consultado em 14 de maio de 2020

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