Dízima periódica

Dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição, chamados de período.^[1]

Exemplos de dízimas

${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}=0,5=50\%}$ - dízima finita (ou decimal exato).

${\displaystyle 0,3333333333...}$ - dízima infinita (ou decimal não exato).

${\displaystyle 2,3256565656...}$ - dízima infinita (ou decimal não exato).

Período e comprimento de uma dízima periódica infinita

O conjunto de números que se repete na parte decimal (após a vírgula) em algum momento é chamado de período. O período de uma dízima pode ser denotado por uma barra acima: ${\displaystyle 0,4629629...=0,4{\overline {629}}}$.

Neste caso, o período é 629, sendo esse número composto por 3 algarismos (comprimento do período).

Dízima periódica simples

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula^[1] (a parte decimal do número), pois não há anteperíodo, podendo ou não ter uma parte inteira não nula.

Exemplos:

• 0,444444… - "4" é o período.
• 0,5125125125… - "512" é o período.
• 0,68686868… - "68" é o período.
• 0,354235423542.. - "3542" é o período.
• 5,73737373... - "73" é o período.

Dízima periódica composta

Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período^[1]. Esse conjunto de algarismos que aparecem na parte decimal sem participar do período é chamado de anteperíodo.

Exemplos:

• 0,7888… - "7" é o anteperíodo.
• 0,58444444… - "58" é o anteperíodo.
• 0,15262626… - "15" é o anteperíodo.
• 2,34222222... - "34" é o anteperíodo.

Exemplos e notação

A repetição de algarismos geralmente é indicada pelo sinal de reticências ou por uma barra (traço) acima do período.

• ${\displaystyle {\frac {1}{3^{4}}}=0,012345679012345679\ldots }$
• ${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,333333333333\ldots }$
• ${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0,142857142857\ldots }$
• ${\displaystyle {\frac {1}{9}}=0,111111111111\ldots }$

• ${\displaystyle {\frac {1}{3^{4}}}=0,{\overline {012345679}}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0,{\overline {142857}}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{9}}=0,{\overline {1}}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,{\overline {3}}}$

Fração geratriz de uma dízima periódica

Toda dízima periódica representa um número racional,^[1] isto é justificado de forma construtiva ao encontrar a fração que dá origem à dízima.

Exemplo

1. Seja a dízima ${\displaystyle x=1,253535353\ldots \,}$. Observamos a repetição dos algarismos 5 e 3 (período), tomamos então o número ${\displaystyle 10x}$ para "mover" o anteperíodo (2) para a parte inteira da dízima:

${\displaystyle 10x=12,5353535353\ldots \,}$

2. Multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período):

$${\displaystyle 1000x=1253,535353....}$$

3. Se subtrairmos ${\displaystyle 10x\,}$ de ${\displaystyle 1000x\,}$ temos:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}1000x&=&1253,5353535353\ldots \\10x&=&12,53535353\ldots \\990x&=&1241\end{array}}}$

Portanto, ${\displaystyle x=1,2535353...={\frac {1241}{990}}}$

Este raciocínio dedutivo pode ser aplicado a qualquer dízima periódica para encontrar sua fração geratriz.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

Algoritmo Usual

A geratriz de uma dízima periódica simples pode ser encontrada a partir de procedimentos simples seguindo o algoritmo:

1. Encontre a parte inteira e o período.
2. Escreva uma fração em que o numerador seja um número formado pelos algarismos da parte inteira e do período subtraído da parte inteira e que o denominador tenha o algarismo 9 para cada dígito que compõe o período.

Exemplo:

${\displaystyle 1,3232...=1,{\overline {32}}}$

A parte inteira é 1 e o período é 32, logo, a fração geratriz dessa dízima terá um numerador 132 - 1 e um denominador 99 (o período tem 2 algarismos, portanto, serão dois "noves").

${\displaystyle 1,3232...=1,{\overline {32}}={\frac {132-1}{99}}={\frac {131}{99}}}$

Da mesma forma, geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, anteperíodo e período subtraído do anteperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anteperíodo.^[2]

Por exemplo:

${\displaystyle 0,14275275275...=0,14{\overline {275}}}$

Anteperíodo: 14, sendo formado por 2 algarismos, logo, o denominador terá dois "zeros".

Período: 275, sendo formado por 3 algarismos, logo, o numerador terá três "noves".

O numerador será um número formado pelos algarismos da parte inteira (0), anteperíodo (14) e período (275), ou seja, 14275, subtraído do anteperíodo (14). O denominador será 99900, pois o período é composto por 3 algarismos (999) e o anteperíodo é composto por 2 algarismos (00). Dessa forma, ${\displaystyle {\frac {14275-14}{99900}}={\frac {14261}{99900}}}$. Portanto, a geratriz da dízima 0,14275275... é ${\displaystyle {\frac {14261}{99900}}}$.

Dízimas periódicas e séries geométricas infinitas

Toda dízima periódica pode ser decomposta em infinitas somas, dado que o período se repete infinitamente,^[3][4] por exemplo:

A dízima ${\displaystyle 0,313131...}$ (que pode ser reescrita na forma ${\displaystyle 0,{\overline {31}}}$) pode ser decomposta na soma infinita ${\displaystyle 0,31+0,0031+0,000031\;+\;...}$

Essa soma pode ser interpretada como uma série geométrica infinita, cujo primeiro termo é 0,31 e a razão é igual ao inverso de 10 elevado ao número de algarismos do período, que no caso é 2, ou seja, ${\displaystyle 10^{-2}}$ ou ${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$.

Assim, podemos representar essa dízima como uma série infinita:$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot 10^{-2k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot {\frac {1}{100^{k}}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {31}{10^{2(k+1)}}}\right)}$$Considerando ${\displaystyle \mid \ q\ \mid }$ o valor absoluto da razão e que ${\displaystyle \mid \ q\mid <1}$, temos uma série convergente que pode ser calculada pela fórmula da série geométrica infinita ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{1-q}}}$:$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot {\frac {1}{100^{k}}}\right)={\frac {0,31}{1-{\frac {1}{100}}}}={\frac {0,31}{\frac {99}{100}}}}$$Simplificando essa fração, obtemos a geratriz da dízima:$${\displaystyle {\frac {0,31}{\frac {99}{100}}}={\frac {31}{99}}}$$Portanto, ${\displaystyle 0,{\overline {31}}={\frac {31}{99}}}$.

De modo geral, se temos uma dízima periódica com uma parte inteira ${\displaystyle a}$, um período ${\displaystyle p}$ composto por ${\displaystyle x}$ algarismos e um anteperíodo ${\displaystyle b}$ composto por ${\displaystyle y}$ algarismos, podemos representar a dízima como uma série infinita:$${\displaystyle a+10^{-y}\cdot \left[b+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {p}{10^{x(k+1)}}}\right)\right]}$$No caso da dízima periódica simples, as variáveis ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle y}$ são nulas, visto que não há anteperíodo. Desta forma, podemos simplificar a fórmula:$${\displaystyle a+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {p}{10^{x(k+1)}}}\right)}$$Exemplo

Seja a dízima periódica composta ${\displaystyle 1,2{\overline {34}}}$, podemos escrevê-la como uma série infinita utilizando o recurso acima, em que:

${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle b=2}$, ${\displaystyle y=1}$, ${\displaystyle p=34}$ e ${\displaystyle x=2}$.

${\displaystyle a+10^{-y}\cdot \left[b+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {p}{10^{x(k+1)}}}\right)\right]=1+10^{-1}\cdot \left[2+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {34}{10^{2(k+1)}}}\right)\right]=1,2+{\frac {1}{10}}\cdot \left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {34}{10^{2(k+1)}}}\right)\right]}$

Simplificando:

${\displaystyle =1,2+{\frac {1}{10}}\left({\frac {34}{10^{2}}}+{\frac {34}{10^{4}}}+{\frac {34}{10^{6}}}+\,...\right)}$

${\displaystyle =1,2+0,034+0,00034+0,0000034\,+\,...}$

${\displaystyle =1,2343434...\;\;{\text{ou}}\;\;1,2{\overline {34}}}$

Como ${\displaystyle k}$ é uma variável indexada que sempre será um número natural após o incremento de uma unidade no somatório, podemos afirmar que a condição ${\displaystyle \mid \ q\mid <1}$ será sempre verdadeira e portanto, teremos uma série convergente, o que nos possibilita encontrar a fração geratriz da dízima a partir da fórmula da série geométrica infinita:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{1}\cdot q^{k}={\frac {a_{1}}{1-q}},\,\mid q\mid <1}$

Neste caso, ${\displaystyle a_{1}=0,34}$, e como o período possui 2 algarismos, ${\displaystyle q=10^{-2}={\frac {1}{100}}}$.

${\displaystyle 1,2+{\frac {1}{10}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {34}{10^{2(k+1)}}}\right)=1,2+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {a_{1}}{1-q}}=1,2+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {0,34}{1-{\frac {1}{100}}}}=1,2+{\frac {34}{990}}={\frac {611}{495}}}$

Portanto, ${\displaystyle 1,2{\overline {34}}={\frac {611}{495}}}$.

Ver também

• 0,999...
• Sistema decimal
• Série geométrica
• Série (matemática)

Referências

1. João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica, capítulo IV. Texto disponível no wikisource
2. «Fração geratriz - Matemática - UOL Educação». educacao.uol.com.br. Consultado em 15 de julho de 2015
3. TAVARES, Americo. «Números Racionais: Dízimas Periódicas e Série Geométrica». Hi7.co. Consultado em 20 jan. 2021
4. LOPES, Rodrigo M. (25 out. 2019). «SEQUÊNCIAS E SÉRIES GEOMÉTRICAS: UMA ABORDAGEM COM VÁRIOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA». XXIII EBRAPEM - XXIII Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática. Consultado em 20 jan. 2021