Comprimento de onda Compton

O comprimento de onda Compton pode ser entendido como uma limitação fundamental na medida da posição de uma partícula, tomando-se as implicações da mecânica quântica e relatividade especial em conta. Isto depende da massa ${\displaystyle m\ }$ da partícula.

Definições matemáticas

O comprimento de onda Compton ${\displaystyle \lambda \ }$ de uma partícula é dado por

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mc}}=2\pi {\frac {\hbar }{mc}}\ }$,

onde

${\displaystyle h\ }$ é a constante de Planck,

${\displaystyle m\ }$ é a massa da partícula,

${\displaystyle c\ }$ é a velocidade da luz.

O valor CODATA de 2002 para o comprimento de onda Compton do elétron é 2.4263102175×10⁻¹² m com uma incerteza padrão de 0.0000000033×10⁻¹² m.^[1] Outras partículas têm diferentes comprimentos de onda Compton.

Para ver-se isto, note-se que nós podemos medir a posição de uma partícula por incidir luz sobre ela - mas medir a posição precisamente requer luz de pequeno comprimento de onda. Luz de comprimento de onda pequeno consiste de fótons de alta energia. Se a energia destes fótons excede ${\displaystyle mc^{2}\ }$, quando um atinge a partícula onde cuja posição está sendo medida a colisão deve ter suficiente energia para criar uma nova partícula do mesmo tipo. Disto resulta em tornar oculta a questão da localização original da partícula.

Este argumento também mostra que o comprimento de onda Compton é a ponto de interrupção abaixo do qual a teoria quântica de campos – a qual pode descrever a criação e aniquilação de partículas – torna-se importante.

Pode-se fazer o argumento acima um tanto mais preciso como segue-se. Suponhamos que deseja-se medir a posição de um partícula dentro de uma precisão ${\displaystyle \Delta x\ }$. Então a relação de incerteza para a posição e o momento diz que

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}$

então a incerteza no momento da partícula satisfaz

${\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}}$

Usando a relação relativística entre momento e energia, quando ${\displaystyle \Delta p}$ excede ${\displaystyle mc}$ então a incerteza na energia é maior que ${\displaystyle mc^{2}\ }$, o que é suficiente energia paracriar outra partícula do mesmo tipo. Então, com um pouco de álgebra, nós vemos aqui uma limitação fundamental

${\displaystyle \Delta x\geq {\frac {\hbar }{2mc}}}$

Assim, pelo menos dentro de uma ordem de magnitude, a incerteza na posição deve ser maior do que o comprimento de onda de Compton ${\displaystyle h/mc\ }$.

O comprimento de onda de Compton pode ser comparado com o comprimento de onda de de Broglie, o qual depende do momento de uma partícula e determina o ponto de corte entre o comportamento de partícula e onda na mecânica quântica.

O caso dos férmions

Para férmions, o comprimento de onda de Compton determina a seção transversal de interações. Por exemplo, a seção transversal para a dispersão de Thonsom de um fóton de um elétron é igual a

${\displaystyle (8\pi /3)\alpha ^{2}\lambda _{e}^{2}}$,

onde ${\displaystyle \alpha \ }$ é a constante de estrutura fina e ${\displaystyle \lambda _{e}\ }$ é o comprimento de onda de Compton do elétron. Para bósons gauge, o comprimento de onda de Compton determina a escala da interação Yukawa: desde que o fóton não tenha massa de repouso, o eletromagnetismo tem escala infinita.

O comprimento de onda de Compton do eléctron é um dos do trio de unidades de comprimento relacionadas, as outras duas sendo raio de Bohr ${\displaystyle a_{0}}$ e o raio clássico do elétron ${\displaystyle r_{e}}$. O comprimento de onda de Compton é obtido a partir da massa do elétron ${\displaystyle m_{e}}$, constante de Planck ${\displaystyle h}$ e a velocidade da luz ${\displaystyle c}$. O raio de Bohr é obtido de ${\displaystyle m_{e}}$, ${\displaystyle h}$ e a carga do elétron ${\displaystyle e}$. O raio clássico do elétron é obtido de ${\displaystyle m_{e}}$, ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle e}$. Qualquer um destes três comprimentos pode ser escrito em termos de qualquer outro usando a constante de estrutura fina ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle r_{e}={\alpha \lambda _{e} \over 2\pi }=\alpha ^{2}a_{0}}$

A massa de Planck é especial porque ignorando fatores de ${\displaystyle 2\pi }$ e igualmente, o comprimento de onda de Compton para esta massa é igual a seu raio de Schwarzschild. Esta distância especial é chamada comprimento de Planck. Este é um simples caso de análise dimensional: o raio de Schwarzschild é proporcional à massa, onde o comprimento de onda de Compton é proporcional ao inverso da massa.

Comprimento de onda Compton do elétron, do próton e do nêutron

(de CODATA 2006^[2])

• Elétron:^[3]λ_C,e = 2,426 310 217 5 (33) × 10⁻¹² m
• Próton:^[4] λ_C,p = 1,321 409 844 6 (19) × 10⁻¹⁵ m
• Nêutron:^[5] λ_C,n = 1,319 590 895 1 (20) × 10⁻¹⁵ m

Ver também

• Efeito Compton

Referências

1. Valor CODATA 2002 por Compton wavelength para o elétron de NIST
2. CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants 2006
3. Elétron - physics.nist.gov (em inglês)
4. Próton - physics.nist.gov (em inglês)
5. Nêutron - physics.nist.gov (em inglês)

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