Axioma da regularidade

O axioma da regularidade, também conhecido como axioma da fundação, em teoria dos conjuntos, é o que garante, essencialmente, que um conjunto não pode ser membro dele mesmo (diretamente, como ${\displaystyle X\in X\,}$, ou indiretamente, através de uma cadeia de outros conjuntos ${\displaystyle X\in X_{1}\in X_{2}\ldots \in X\,}$.

A sua formulação, devida a von Neumann^[1] (em 1925), em lógica de primeira ordem é:

${\displaystyle \forall A(\exists B(B\in A)\rightarrow \exists B(B\in A\land \lnot \exists C(C\in A\land C\in B))).}$

Ou seja, todo conjunto que não é o conjunto vazio possui um elemento que é totalmente disjunto dele.

Este é um dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, e de outras importantes versões da teoria dos conjuntos. Em versões da teoria dos conjuntos que violam este axioma, os "culpados" são chamados de hiperconjuntos; um exemplo é o átomo de Quine Q = { Q }.

Referências

1. Veisdal, Jørgen. «The Unparalleled Genius of John von Neumann». www.privatdozent.co (em inglês). Consultado em 8 de setembro de 2022

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