Anel booliano

Em álgebra, um Anel booliano ${\displaystyle R}$ é um anel onde ${\displaystyle x^{2}=x}$ para todo ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle R}$,^[1][2][3] isto é, ${\displaystyle R}$ consiste apenas de elementos idempotentes.^[1][2]

Notações

Há pelo menos quatro sistemas diferentes e incompatíveis de notação para anéis e álgebras boolianos:

• Em álgebra comutativa a notação padrão é usar ${\displaystyle x+y=(x\wedge \neg y)\vee (\neg x\wedge y)}$ para a soma do anel ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, e usar ${\displaystyle xy=x\wedge y}$ para seus produto.

• Em lógica, uma notação comum é usar ${\displaystyle x\wedge y}$ para o produto e usar ${\displaystyle x\vee y}$ para a junção, dada em termos da conotação do anel (dado acima) por ${\displaystyle x+y+xy}$.

• Em teoria dos conjuntos e lógica é também comum usar ${\displaystyle x\cdot y}$ para o produto e ${\displaystyle x+y}$ para a junção ${\displaystyle x\vee y}$. Este uso do ${\displaystyle +}$ é diferente do usado na teoria do anel.

• Uma rara convenção usa ${\displaystyle xy}$ para o produto e ${\displaystyle x\oplus y}$ para a soma no anel, para se evitar a ambiguidade do sinal ${\displaystyle +}$

Referências

1. John B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra. Pearson Education; 2003. ISBN 978-81-7758-900-9. p. 25.
2. I.N.Herstein. TOPICS IN ALGEBRA, 2ND ED. Wiley India Pvt. Limited; ISBN 978-81-265-1018-4. p. 224.
3. McCoy (1968, p. 46)