Losango

 Nota: Para a empresa de soluções financeiras, veja Losango (empresa).

 Nota: Para carga heráldica, veja Losango (heráldica).

Losango (◊) é um quadrilátero equilátero, ou seja, é um polígono formado por quatro lados de igual comprimento. Um losango é também um paralelogramo. Alguns autores exigem ainda que nenhum dos ângulos do quadrilátero seja reto para que ele seja considerado um losango.^[1]

Um losango é uma figura formada por quatro lados de igual comprimento.

Todo losango é um paralelogramo, e um losango com ângulos retos é um quadrado.^[2][3]

Uma superfície cujos limites são um losango, ou semelhantes a um losango, designa-se por superfície rômbica.

Em Engenharia e em Física, a designação "rombo" é mais comum.

Etimologia

O losango também é chamado de rombo e vem do grego "ῥόμβος" (rhombos), ou seja, algo que gira que deriva do verbo "ρέμβω" (rhembō) que significa voltas e voltas. Já a palavra losango vem do latim arcaico lausa, que designa uma pedra achatada e também derivou na palavra lousa.

Propriedades geométricas

A seguir temos algumas propriedades dos losangos e em seguida suas respectivas demonstrações.

1. Ângulos opostos têm medidas iguais.
2. As suas diagonais são bissetrizes.
3. As suas diagonais são retas perpendiculares.
4. Todo losango tem um círculo inscrito.

Demonstrações das propriedades

1° Propriedade

Essa propriedade é intuitiva e ela parte do fato de que um losango é um caso especial de um paralelogramo. Como todo paralelogramo possui ângulos opostos congruentes, então todo losango também possui ângulos opostos congruentes.

2° Propriedade

Para demonstrar essa propriedade vamos, inicialmente, escrevê-la em notação matemática.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é um losango de diagonais }}\quad {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{cases}{\overline {AC}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {A}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}\\{\overline {BD}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {B}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {D}}\end{cases}}}$

Por definição temos que todos os lados são congruentes. Assim cada uma das diagonais divide o losango em dois triângulos isósceles.

Visto que todo losango é um paralelogramo, temos também que suas diagonais se interceptam em seus pontos médios. Assim, sendo ${\displaystyle M}$ o ponto de intersecção das diagonais, temos:

${\displaystyle {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}}$

Unindo essas duas implicações temos:

${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}},\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}\qquad (LLL)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {CMB}\equiv \triangle {CMD}\equiv \triangle {AMD}}$

Visto que todos esses triângulos são congruentes, temos:

${\displaystyle A{\hat {B}}M\equiv {M{\hat {B}}C}\equiv {C{\hat {D}}M}\equiv {M{\hat {D}}A}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {BD}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {B}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {D}}}$

${\displaystyle M{\hat {A}}B\equiv {B{\hat {C}}M}\equiv {M{\hat {C}}D}\equiv {D{\hat {A}}M}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AC}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {A}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}}$

Logo, as diagonais de um losango são bissetrizes de seus respectivos ângulos internos.

3° Propriedade

Essa propriedade será demonstrada em duas partes (a 'ida' e a 'volta' do teorema).

Todo losango tem diagonais perpendiculares

Vamos demonstrar que se um quadrilátero é um losango, então ele é tem as diagonais perpendiculares.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é losango}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}}$

Como todo losango é um paralelogramo (por possuir lados opostos congruentes), temos que suas diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios. Ou seja, sendo ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ as diagonais temos:

${\displaystyle M={\overline {AC}}\cap {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}}$

Agora tomamos os seguintes triângulos: ${\displaystyle \triangle {AMB}}$, ${\displaystyle \triangle {AMD}}$, ${\displaystyle \triangle {CMB}}$ e ${\displaystyle \triangle {CMD}}$.

Pelo caso de congruência ${\displaystyle LLL}$, temos as congruências:

${\displaystyle \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMD}\equiv \triangle {CMB}\equiv \triangle {CMD}}$.

Assim verificamos que os ângulos de vértices ${\displaystyle M}$ são congruentes e suplementares, ou seja: ${\displaystyle {\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}}$

Todo paralelogramo que possui diagonais perpendiculares é losango

Vamos demonstrar se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango.

${\displaystyle ABCD\quad {\text{é um paralelogramo tal que}}\quad {\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {ABCD}\quad {\text{é losango}}}$

Como ${\displaystyle ABCD}$ é paralelogramo, temos que seus lados opostos são congruentes, ou seja:

${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {CD}}}$e ${\displaystyle {\overline {BC}}\equiv {\overline {AD}}}$.

Também, por ser paralelogramo temos que as diagonais interceptam-se em seus respectivos pontos médios, ou seja:

${\displaystyle M={\overline {AC}}\cap {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}}$

Como diagonais são perpendiculares, temo que :

${\displaystyle A{\hat {M}}B\equiv {B{\hat {M}}C}\equiv {C{\hat {M}}D}\equiv {D{\hat {M}}A}}$.

Dessas relações, através do caso de congruência ${\displaystyle LAL}$, temos:

${\displaystyle \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMD}\equiv \triangle {CMB}\equiv \triangle {CMD}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}}}$.

Logo, ${\displaystyle ABCD}$ é um losango.^[4]

Ângulos

O único losango que não possui dois ângulos agudos (menores que 90°) e dois ângulos obtusos (maiores que 90°) é o quadrado. O quadrado possui quatro ângulos iguais a 90°.

Área

A altura h é a distância perpendicular entre dois lados quaisquer não-adjacentes, ou o diâmetro do circulo inscrito (h=2r).

Existem varias formas de se visualizar a fórmula da área. A mais usual é partindo do que se conhece sobre a fórmula da área do paralelogramo. A área A de um paralelogramo é o produto da sua base pela sua altura (h na ilustração). No losango qualquer lado, todos de comprimento a, se presta a fazer o papel de base:

${\displaystyle A=a\cdot h=a\cdot 2r}$

Outra forma usual de visualizar a área do losango, é percebendo que o traçado de suas diagonais permite dividi-lo em quatro triângulos retângulos simétricos e de mesma área:

${\displaystyle A=4\cdot K={\frac {p\cdot q}{2}}}$

onde K é a área de um dos triângulos, p e q as diagonais do losango.^[5] A correspondência com a área da primeira abordagem é demonstrada na análise do incentro.

Uma terceira forma, se baseia na primeira, mas expressando h como projeção de um lado a, ou seja, como cateto oposto do ângulo ${\displaystyle \alpha }$, portando expressando através do seno,

${\displaystyle A=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

onde é lembrado que o seno de qualquer ângulo do losango é o mesmo (num paralelogramo os ângulos são suplementares entre si).

Incentro

Visualizando o losango como quadra triângulos-retângulo simétricos (de área K), dados pelas diagonais (p e q).

Para calcular o raio do incentro de um losango, basta usar a seguinte fórmula considerando p e q como diagonais dele.

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}$

observando o triângulo-retângulo de hipotenusa a e catetos p/2 e q/2, concluímos que a área K de cada triângulo ilustrado é:

${\displaystyle K=a\cdot r/2={\frac {p\cdot q}{8}}}$

Também pode ser aplicada a seguinte fórmula para o cálculo da área de um losango:

Área=D*d/2

D representa o comprimento de sua diagonal maior e d representa o comprimento de sua diagonal menor.

Ou seja, a área de um losango é a metade do produto de suas diagonais.

Referências

1. Campos (1735), p. 6.
2. Nota: a definição original de Euclides e de alguns dicionários de língua inglesa excluem os quadrados, mas os matemáticos modernos preferem a definição inclusiva.
3. Weisstein, Eric W. «Square». MathWorld (em inglês) uso inclusivo
4. Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria plana. São Paulo: Atual
5. Campos, Manoel de (1735). Elementos de geometria plana e solida segundo a ordem de Euclides. [S.l.]: Officina Rita-Cassiana