Álgebra de Lie semissimples

Em matemática, uma álgebra de Lie é semissimples se ela é uma soma direta de álgebras de Lie simples, i.e., álgebras de Lie não abelianas ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ nas quais os únicos ideais são triviais ({0} e ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Ela é chamada redutiva se ela é a soma de uma álgebra de Lie semissimples e abeliana.

Sendo ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ uma álgebra de Lie dimensional finita sobre uma corpo de característica 0. As seguintes condições são equivalentes:

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é semissimples
• a forma de Killing, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), é não degenerada,
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ não tem ideais abelianos não-zero,
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ não tem ideais solúveis não-zero,
• O radical de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é zero.

Bibliografia

• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9

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