Teoria dos corpos

A Teoria dos corpos é um ramo da álgebra abstrata que estuda as propriedades dos corpos. Um corpo é uma estrutura algébrica em que a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão são bem-definidas.

Os corpos são importantes objetos de estudo na álgebra visto constituirem uma generalização útil de muitos sistemas de números, como os números racionais, os números reais e os números complexos. Em particular, as regras usuais de associatividade, e comutatividade e distributividade valem.

História

O conceito de corpo foi usado implicitamente por Niels Henrik Abel e Évariste Galois em seus trabalhos sobre solvabilidade de equações.

Em 1871, Richard Dedekind deu o nome de "corpo" a um conjunto de números reais ou complexos que são fechados para as quatro operações aritméticas.

Em 1881, Leopold Kronecker definiu aquilo a que chamou "domínio de racionalidade", e que hoje é geralmente conhecido como "corpo de polinômios".

Em 1893, Heinrich Weber deu a primeira definição clara de um corpo abstrato.

Em 1910, Ernst Steinitz publicou o influente artigo Algebraische Theorie der Körper (alemão: Teoria Algébrica dos Corpos). Neste artigo ele estuda axiomaticamente as propriedades dos corpos e define conceitos importantes da teoria dos corpos, como corpo primo, corpo perfeito e o grau de transcendência de uma extensão de corpo.

Galois é reconhecido como o primeiro matemático a unificar a teoria dos grupos e a teoria dos corpos, originando a designação teoria de Galois. No entanto, foi Emil Artin quem primeiro desenvolveu a relação entre grupos e corpos de forma mais desenvolvida 1928-1942.

Tipos de corpos

• Corpo finito
• Corpo ordenado
• Números racionais
• Números reais
• Números complexos
• Corpo de números algébricos
• Números algébricos
• Corpo quadrático
• Corpo ciclotômico
• Corpo totalmente real
• Corpo formalmente real
• Corpo real fechado
• Corpo de frações