Teorema espectral

Os teoremas espectrais são fundamentais na álgebra linear, por garantirem a existência de uma base ortonormal de autovectores para alguns tipos de operadores. Isto implica que o operador seja diagonalizável, o que facilita bastante os cálculos.^[1][2]

Tipos

Para operadores auto-adjuntos

Seja ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ um operador auto-adjunto e V um espaço vetorial complexo ou real de dimensão n. Então existe uma base ortonormal de V formada por autovectores de T.^[3][1]

Para operadores normais

Seja ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ um operador linear e V um espaço vetorial complexo de dimensão n. Então T é normal se, e somente se, existe uma base ortonormal de V formada por autovectores de T. Note que, como todo operador unitário é normal, o teorema pode ser estendido a operadores desse tipo.^[3][1]

Para operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert

Seja ${\displaystyle H\,}$ um espaço de Hilbert separável e ${\displaystyle T:H\to H\,}$ um operador compacto auto-adjunto, então existe uma família ortonormal de autovetores ${\displaystyle \{v_{j}\}_{j=1}^{\infty }\,}$ com autovalores associados ${\displaystyle \lambda _{j}\,}$ tais que:^[3]

${\displaystyle Tx=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\langle x,v_{j}\rangle v_{j}\,}$

Ver também

• Medida espectral
• Decomposição em Valores Singulares

Referências

1. 1958-, Beezer, Robert A. (Robert Arnold), (2012). A first course in linear algebra. Gig Harbor, Wash.: Congruent Press. ISBN 9780984417551. OCLC 839681634
2. Howard., Anton,. Elementary linear algebra 10th edition ed. Hoboken, NJ: [s.n.] ISBN 9780470432051. OCLC 463637219
3. Hoffman,Kunze, Kenneth,Ray (1971). Linear Algebra. Nova Jersey: Prentice-Hall. pp. 343–354 |acessodata= requer |url= (ajuda)