Teorema de Papo: Dado um hexágonoXbCYcB, cujos lados são formados pelas retas Ab-bC-Ca-aB-Bc-cA, se as retas Xb, BC e cY são concorrentes e se BX, cb e YC são concorrentes, então as retas Bc, XY e bC serão também concorrentes
Dado um conjunto de pontos colinearesA, B, C, e um outro conjunto de pontos colineares a, b, c, os pontos de intersecçãox, y, z dos pares de retas Ab-aB, Ac-aC e Bc - bC também serão colineares.
A dualidade desse teorema afirma que:
Dado um conjunto de linhas concorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definidas pelos pares de pontos resultantes dos pares de intersecção (A∩b, a∩B), (A∩c , a∩C) e (B∩c, b∩C) são concorrentes.
A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade.
Hexágono XbCYcB exemplo do Teorema de Papo
Vamos considerar seis linhas em um plano projetado: U, V, W, X, Y, e Z. Então o teorema pode ser expresso como:
Se
(1) os pontos equivalentes as intersecções de U com V, X com W, e Y com Z são colineares,
e se
(2) os pontos equivalentes as intersecções de U com Z, X com V, e Y com W são colineares, então
deve ser verdade que
(3) os pontos equivalentes a intersecções de U com W, X com Z, e Y com V são colineares.
Simbolicamente, o teorema de papus afirma o seguinte:
Se
e se
então
Prova
Sendo
Nós temos que demonstrar que se = 0 e = 0, então = 0.
Passo 1
Utilizando a identidade
podemos expressar , , e na seguinte forma equivalente: