Teorema de Donsker

Em teoria da probabilidade, o teorema de Donsker (também conhecido como princípio da invariância de Donsker, ou teorema central do limite funcional), em homenagem ao matemático Monroe D. Donsker, é uma extensão funcional do teorema central do limite.^[1]

Definição formal

Seja ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média 0 e variância 1. Seja ${\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$. O processo estocástico ${\displaystyle S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é conhecido como um passeio aleatório. Definindo o passeio aleatório escalado por

${\displaystyle W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].}$

O teorema central do limite afirma que ${\displaystyle W^{(n)}(1)}$ converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana padrão ${\displaystyle W(1)}$ conforme ${\displaystyle n\to \infty }$. O princípio da invariância de Donsker^[1][2] extende essa convergência para toda a função ${\displaystyle W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}}$. Mais precisamente, em sua forma moderna, o princípio da invariância de Donsker afirma que: com variáveis aleatórias tomando valores no espaço de Skorokhod ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$, a função aleatória ${\displaystyle W^{(n)}}$ converge em distribuição para um movimento browniano padrão ${\displaystyle W:=(W(t))_{t\in [0,1]}}$ conforme ${\displaystyle n\to \infty .}$

Seja ${\displaystyle F_{n}}$ a função distribuição empírica da sequência das variáveis aleatórias i.i.d. ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ com função de distribuição ${\displaystyle F}$. Definindo a versão centrada e reduzida de ${\displaystyle F_{n}}$ por

${\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))\,}$

indexadas por ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Pelo teorema central do limite clássico, para ${\displaystyle x}$ fixo, a variável aleatória ${\displaystyle G_{n}(x)}$ converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana normal ${\displaystyle G(x)}$, com média zero e variância de ${\displaystyle F(x)(1-(F(x))}$ conforme o tamanho da amostra ${\displaystyle n}$ cresce.

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) — A sequência de G_n(x), como elementos aleatórios do espaço de Skorokhod ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )}$, converge em distribuição para um processo gaussiano G com média zero e covariância dada por

${\displaystyle \operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)F(t).\,}$

O processo ${\displaystyle G(x)}$ pode ser escrito como ${\displaystyle B(F(x))}$, onde ${\displaystyle B}$ é uma ponte browniana padrão no intervalo unitário.

História

Em 1933, Kolmogorov mostrou que, quando ${\displaystyle F}$ é contínuo, o supremo ${\textstyle \sup _{t}G_{n}(t)}$ e o supremo de valor absoluto, ${\textstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|}$ converge em distribuição para as leis dos mesmos funcionais da ponte browniana ${\displaystyle B(t)}$. Doob, em 1949, perguntou se a convergência em distribuição se mantinha para funcionais mais gerais, assim formulando um problema de convergência fraca de funções aleatórias em um espaço de função adequado.^[3]

Em 1952, Donsker afirmou e provou, apesar de com falhas,^[4] uma extensão geral para a abordagem heurística de Doob-Kolmogorov. No artigo original, Donsker provou que a convergência na lei de ${\displaystyle G_{n}}$ para a ponte browniana se mantém para distribuições uniformes ${\displaystyle [0,1]}$ com relação à convergência uniforme em ${\displaystyle t}$ sobre o intervalo ${\displaystyle [0,1]}$.^[2]

No entanto, a formulação de Donsker não estava totalmente correta, por conta do problema da mensurabilidade dos funcionais de processos descontínuos. Em 1956, Skorokhod e Kolmogorov definiram uma métrica separável ${\displaystyle d}$, chamada métrica de Skorokhod, no espaço de funções càdlàg em ${\displaystyle [0,1]}$, tal que a convergência para ${\displaystyle d}$ para uma função contínua é equivalente a convergência para o supremo da norma, e mostrou que ${\displaystyle G_{n}}$ converge na lei em ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$ para a ponte browniana.

Mais tarde, Dudley reformulou o resultado de Donsker para evitar o problema de mensurabilidade e a necessidade da métrica de Skorokhod. Pode-se provar^[4] que existe ${\displaystyle X_{i}}$, i.i.d. uniforme em ${\displaystyle [0,1]}$ e uma seqüência de pontes brownianas ${\displaystyle B_{n}}$ de amostragem contínua, tais que

${\displaystyle \|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }}$

é mensurável e converge em probabilidade para 0. Uma versão melhorada deste resultado, que fornece mais detalhes sobre a taxa de convergência, é a aproximação de Komlós–Major–Tusnády.

Veja também

• Processo estocástico
• Teorema central do limite
• Teste Kolmogorov-Smirnov

Referências

1. Donsker, M.D. (1951). «An invariance principle for certain probability limit theorems». Memoirs of the American Mathematical Society, 1951, no. 6
2. Donsker, M. D. (1952). «Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 23: 277–281. MR 47288. Zbl 0046.35103. doi:10.1214/aoms/1177729445
3. Doob, Joseph L. (1949). «Heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 20: 393–403. MR 30732. Zbl 0035.08901. doi:10.1214/aoms/1177729991
4. Dudley, R.M. (1999). Uniform Central Limit Theorems. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46102-2

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