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Na matemática, um operador diferencial é definido como uma função do operador de diferenciação. É útil, primeiramente por questão de notação, ao considerar diferenciação como uma operação abstrata que recebe uma função e retorna outra função (no estilo de uma função de ordem maior em ciência da computação).
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Julho de 2016) |
Este artigo considera principalmente operadores lineares, que são o tipo mais comum. Porém, operadores não-lineares, como a derivada Schwarziana, também existem.
Assuma que haja uma transformação de um espaço funcional para outro espaço funcional e uma função tal que é a imagem de , ou seja, . Um operador diferencial é representado como uma combinação linear, finitamente gerada por e suas derivadas de alto grau, tal como
em que o conjunto de inteiros não-negativos, , é um índice múltiplo, é chamado de comprimento, são funções em algum domínio aberto em um espaço n-dimensional e
O operador diferencial é denotado por , que representa a ação de tomar a derivada em si, de modo que, dada uma função , temos que as representações comuns para a primeira derivada em relação à uma variável x incluem:
e
Quando tomando derivadas de maior grau, n, o operador pode também ser escrito como:
e
A derivada de uma função de argumento é às vezes dada em uma das seguintes formas:
,
A criação e uso da notação é creditada à Oliver Heaviside, que considerou operadores diferenciais da forma
em seu estudo sobre equações diferenciais.
Um dos operadores diferenciais mais vistos é o operador Laplaciano, definido como
Na escrita, seguindo a convenção matemática padrão, o argumento do operador diferencial é usualmente colocado do lado direito do próprio operador. Às vezes, porém, uma notação alternativa é usada: o resultado de aplicar o operador na função do lado esquerdo do operador e do lado direito, e a diferença obtida quando aplicando o operador diferencial à funções de ambos os lados, são denotadas por flechas da maneira seguinte:
Tal notação de flecha bidirecional é frequentemente usada para descrever a corrente de probabilidade na mecânica quântica.
Artigo principal: Del
O operador diferencial del, também chamado de operador nabla, é um importante operador diferencial vetorial. Ele aparece frequentemente na física em locais como a forma diferencial das equações de Maxwell. Nas coordenadas tridimensionais Cartesianas, del é definido como:
O del é usado para calcular o gradiente, rotacional, divergente, e o Laplaciano de diversos objetos.
Dado um operador diferencial linear
,
o adjunto desse operador é definido como o operador tal que
onde a notação é usada para o produto escalar ou produto interno. Esta definição portanto depende da definição de produto escalar.
No espaço funcional de funções quadrado-integráveis, o produto escalar é definido como
onde é o par conjugado complexo de g(x). Se mais do que isso é adicionada a condição de que f ou g desaparece quando e , pode-se definir o adjunto de T como
Essa fórmula não depende explicitamente da definição de produto escalar. Ela é, portanto, às vezes escolhida como a definição de operador adjunto. Quando é definido por essa fórmula, é chamado de adjunto formal de T. Um operador autoadjunto (formal) é um operador igual ao seu próprio adjunto (formal).
Se Ω é o domínio em Rn, e P um operador diferencial em Ω, então o adjunto de P é definido no Espaço Lp L2(Ω) por dualidade de maneira análoga:
para todas as funções L2 suaves f, g. Como funções suaves são densas em L2 , isto define o adjunto de um subconjunto L2 denso : P* é um operador densamente definido.
O operador de Sturm-Liouville é um exemplo bem conhecido de um operador autoadjunto formal. Este operador diferencial linear de segunda ordem pode ser escrito na forma
Essa propriedade pode ser provada usando a definição de adjunto formal acima:
Esse operador é importante na Teoria de Sturm-Liouville, onde as funções-eigen (análogas a vetores-eigen) desse operador são consideradas.
Como consequência imediata da definição de operadores, podemos escrever
.
Ou seja:
.
Generalizando, definimos
como a derivada de de ordem , para qualquer inteiro não negativo.
Podemos agora definir um polinômio de operadores , onde
são números reais, como:
.
De certa forma é possível realizar operações com polinômios em D da mesma forma que se realiza com polinômios convencionais, estando bem definidas as operações de Adição, Subtração e Multiplicação, como mostrado a seguir:
Sejam e polinômios em , e uma função infinitamente diferenciável. Definimos:
Observação: a operação de Multiplicação é comutativa, ou seja, .
Sistemas de equações diferenciais não muito complexos podem ser resolvidos com Operadores Diferenciais, visto a praticidade de se representar equações diferenciais com os mesmos, e pelo fato de se poder operá-los como polinômios convencionais, ou seja, pode-se operar polinômios em como se fossem coeficientes constantes. No entanto, deve-se lembrar que a operação de Divisão de Operadores não foi definida, logo não se deve dividir operadores diferenciais nos métodos em que estes são úteis para sistemas de equações.
Seja R um anel, e um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis D e X, e o ideal dual gerado por DX-XD-1, então o anel de operadores diferenciais polinomiais invariantes em R é o anel quociente . Esse é um anel não-comutativo simples. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma . Ele suporta um análogo da divisão Euclidiana de polinômios. Módulos diferenciais em (para a derivação padrão) podem ser identificados com módulos em .
Seja R um anel, e um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis , e o ideal dual gerado pelos elementos para todo onde é o delta de Kronecker, então o anel de operadores diferenciais polinomiais multivariantes em R é o anel quociente Esse é um anel não-comutativo. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma
Em geometria diferencial e geometria algébrica, é geralmente conveniente ter uma descrição de operadores diferenciais independente de coordenadas entre dois fibrados vetoriais. Sejam E e F dois fibrados vetoriais em uma superfície diferenciável M. Uma transformação R-linear de seções P: Γ(E) → Γ(F) é dita como sendo um operador diferencial linear de k-ésima ordem se ele é fatorável sobre o fibrado de jet Jk(E). Em outras palavras, existe uma transformação linear de fibrados vetoriais
tal que
onde jk: Γ(E) →Γ(Jk(E)) é a continuação que associa a qualquer parte de E seu k-jet.
Isso significa que para uma dada seção s de E, o valor de P(s) no ponto x ∈ M é inteiramente definido na k-ésima ordem infinitesimal o comportamento de s em x. Em particular isso implica que P(s)(x) é determinado pelo germ de s em x, que se expressa ao dizer que todos os operadores diferenciais são locais.
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