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Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897.
Dado um número primo p, um número p-ádico é representado como uma soma infinita:[1]
O principal uso destes números é na teoria de números.
Assim como pode ser gerado a partir de a partir da definição usual de valor absoluto, ou seja, é acrescido do valor limite das sucessões de Cauchy,[Nota 1] o conjunto dos números p-ádicos também é ao qual são agregados os valores limites das sucessões de Cauchy, só que, em vez de usar o valor absoluto usual, usa-se um valor absoluto diferente.[2]
Este valor absoluto diferente, o valor absoluto p-ádico, representado por |.|p, é tal que multiplicar um número por p, que no valor absoluto usual faz o resultado ser multiplicada por p, faz, neste caso, ser dividido por p. Por exemplo:[2]
Como consequência, a sucessão das potências de p, xn = pn, que, no valor absoluto usual é uma sucessão divergente (seu limite é infinito), no valor absoluto p-ádico é uma sucessão convergente, e seu limite é zero.[2]
Define-se como sendo a completação de usando-se o valor absoluto p-ádico.[2] É simples verificar que também é um corpo.[Nota 2]
Um resultado do valor absoluto p-ádico é que o critério para convergência de uma série é mais simples que o critério para o valor absoluto usual: para uma série infinita ser convergente, é necessário e suficiente que an seja uma sequência que converge para zero.[2][Nota 3]
Ou seja, para índices an números naturais entre 0 e p-1, uma expressão do tipo:
converge para algum número p-ádico. O resultado mais importante, porém, é que é possível demonstrar que todo número p-ádico pode ser escrito de forma única como uma série desta forma, ou seja, uma série de potências em p que está limitada para as potências negativas de p, mas não precisa estar limitada para as potências positivas.[2]
Para um número p-ádico a ≠ 0 expresso como:
com a-r ≠ 0, o valor absoluto p-ádico vale:
Por exemplo, |p|p = 1/p e |p2|p = 1/p2.[3]
Toda sequência de Cauchy em converge.[3]
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