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Em matemática, o método de Frobenius, referente a Ferdinand Georg Frobenius, é uma maneira de encontrar uma solução em série infinita de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem da forma
sendo
nas vizinhanças do ponto singular regular . Dividindo a expressão por , obtém-se a seguinte equação diferencial:
que não será solúvel pelo método das séries de potências se p(z)/z ou q(z)/z2 não forem analítica em z = 0. O método de Frobenius permite criar uma solução em série de potências para tal equação diferencial, contanto que p(z) e q(z) sejam analíticas em 0 ou, sendo analíticas em outro intervalo, contanto que os limites de p e q existam em z = 0 (e sejam finitos).
O método de Frobenius afirma que existe um solução da forma:
Diferenciando em relação a
Substituindo na equação (1):
A expressão é conhecido como polinômio indicial, que é quadrático em
Usando isto, a expressão geral do coeficiente é dada por: Estes coeficientes devem se anular, uma vez que a equção deve ser satisfeita: A série formada pelos Ak acima, satisfaz Se é uma raiz do polinômio indicial, então podemos construir uma solução para a equação. Se a diferença entre as raízes do polinômio indicial não é um número inteiro, então podem-se construir duas solução linearmente independentes para (1).
Os pontos singulares da equação diferencial
são os pontos onde
Se os seguintes limites existem[1]:
diz-se que o ponto é um ponto singular regular.
Se for um ponto singular regular, existirá pelo menos uma solução da forma
A função é analítica em e podemos admitir, sem perder nenhuma generalidade, que é diferente de zero (se for nula, fatoriza-se e redefinem-se e ficando diferente de zero). [1]
Isso implica que a constante seja também diferente zero:
As derivadas e são
Para calcular o valor do índice primeiro observamos que
a seguir multiplicamos a equação diferencial por e dividimos por P
No limite e usando as constantes e definidas acima
Das equações obtemos:
Como é diferente de zero, deverá ser solução da chamada equação indicial:
Para cada raiz real da equação indicial substituímos as séries para e na equação diferencial e procedemos da mesma forma que no método das séries, para calcular os coeficientes [1]
Cada raiz conduz a uma solução; se as duas soluções forem diferentes, a solução geral será a combinação linear das duas.
Em geral, cada raiz da equação indicial pode conduzir a uma solução em séries de potências. No entanto, em alguns casos é possível encontrar apenas uma solução. O teorema que se segue indica como determinar a solução geral por meio de séries de potências.
teorema Frobenius
Se e são duas raízes da equação indicial (em ) de uma equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular em existem três casos, a depender dos valores de e
cada raiz conduz a uma solução diferente.
método de Frobenius. A segunda solução terá a forma:
onde a sucessão deverá ser obtida por substituição de na equação diferencial.[1]
forma usada no método de Frobenius. A segunda solução será:
onde é uma constante.[1]
Nos casos em que a segunda solução tem também a forma do método de Frobenius, o qual implica que aplicando o método de Frobenius é possível encontrar as duas soluções e linearmente independentes.
Quando não é nula, o método de Frobenius permite encontrar apenas uma solução e a segunda solução deverá ser encontrada por substituição da forma geral de na equação diferencial.[1]
Com as duas soluções encontradas seguindo o método indicado pelo teorema de Frobenius, a solução geral será:
Em alguns casos as condições fronteira exigem que seja finita na origem o qual implica se ou já que nos dois casos a segunda solução é divergente na origem.[1]
Se é um inteiro e o método de Frobenius conduz a uma única solução será também nula e não será preciso calcular
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