Loading AI tools
relação de equivalência entre matrizes Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, diz-se que duas matrizes quadradas e são semelhantes (ou similares) se existir uma matriz invertível tal que:[1][2][3]
Uma matriz é dita ser semelhante à matriz se, e somente se, existe uma matriz invertível tal que:[1][2]
Observamos que a definição exige que e sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Pois, caso contrário, a identidade acima não estaria bem definida, ou seja, este conceito de semelhança se aplica apenas a matrizes quadradas.
O conceito de matriz semelhante define uma relação de equivalência, i.e.:[1]
1. Como , temos que é semelhante a .
2. Se , então com . Ou seja, é semelhante a implica semelhante a .
3. Se e , então com . Isto é, é semelhante a e é semelhante a implica semelhante a .
Sejam A e B matrizes semelhantes, então:[1][2][5]
Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então . Com efeito, temos que existe uma matriz invertível tal que . Pelas propriedades do determinante segue que:
Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então é invertível se, e somente se, também for. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível tal que , ou equivalentemente, . Suponhamos que seja invertível. Então, afirmamos que é matriz inversa de . De fato:
e
Isto mostra que se é invertível, então é invertível. A recíproca segue raciocínio análogo.
Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então e possuem o mesmo polinômio característico. Com efeito, existe uma matriz invertível tal que . Por definição, o polinômio característico de é dado por . Daí, segue que:
Isso conclui a demonstração.
Segue imediatamente da propriedade 3.
Segue da propriedade 3, pois o traço de uma matriz é o coeficiente do termo de grau do seu polinômio característico.
Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então e também são para todo número natural. Com efeito, existe uma matriz invertível tal que . Por indução em vemos que . Ou seja, , como queríamos demonstrar.
Seja um operador linear sobre o espaço vetorial de dimensão finita com bases e . Sejam, então, e as matrizes de nas respectivas bases e , i.e.:
e
onde, denota a representação do vetor na base com notação análoga para . Seja, agora, a matriz de mudança da base para a base , i.e.:
Logo, temos:
Como a última igualdade é válida para todo , concluímos que e são matrizes semelhantes.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.