Gráfico Q-Q

Em estatística, um gráfico Q-Q^[1] ("Q" significa quantil) é um gráfico de probabilidades, que é um método gráfico para comparar duas distribuições de probabilidade, traçando seus quantis uns contra os outros. Primeiro, o conjunto de intervalos para os quantis é escolhido. Um ponto (x, y) no gráfico corresponde a um dos quantis da segunda distribuição (coordenada y) plotadas contra o mesmo mesmo quantil da primeira distribuição de (coordenada x). Portanto, a linha é uma curva paramétrica cujo parâmetro é o quantil de cada ponto.

Um gráfico Q-Q dados exponenciais independentes e randomicamente gerados, (X ~ Exp(1)). Este gráfico Q–Q compara uma amostra de dados no eixo vertical a uma estatística de população no eixo horizontal. Os pontos seguem um forte padrão não linear, sugerindo que os dados não são distribuídos com um padrão normal (X ~ N(0,1)). O deslocamento entre a linha e os pontos sugere que a média dos dados não é 0. A mediana dos pontos pode ser determinada a estar perto de 0,7

Gráfico Q-Q normal comparando dados normais independentes gerados aleatoriamente no eixo vertical a uma população normal padrão no eixo horizontal. A linearidade dos pontos sugere que os dados são normalmente distribuídos

Se as duas distribuições que estão sendo comparadas são semelhantes, os pontos no gráfico Q-Q vão repousar aproximadamente na linha y = x. Se as distribuições são linearmente relacionadas, os pontos no gráfico Q-Q irão repousar aproximadamente em uma linha, mas não necessariamente na linha y = x. Gráficos Q-Q também podem ser usados como meio gráfico de estimativa de parâmetros de dispersão e tendência central em uma família de distribuições.

Um gráfico Q-Q é usado para comparar as formas das distribuições, fornecendo uma exibição gráfica de como as propriedades, tais como medidas de tendência central, dispersão e assimetria são semelhantes ou diferentes nas duas distribuições. Gráficos Q-Q podem ser usados para comparar conjuntos de dados ou distribuições teóricas. O uso de gráficos Q-Q para comparação de duas amostras de dados pode ser visto como uma abordagem não-paramétrica para comparação de suas distribuições subjacentes. Um gráfico Q-Q geralmente é uma abordagem mais poderosa para fazer essa comparação do que a técnica comum de comparação de histogramas das duas amostras, mas requer mais habilidade para interpretar. Gráficos Q-Q são comumente usados para comparar um conjunto de dados com um modelo teórico.^[2] Isto pode fornecer uma avaliação de qualidade do ajuste (goodness of fit) que é gráfica, ao invés de reduzir a uma exibição numérica. Gráficos Q-Q também são usados para comparar duas distribuições teóricas entre si. Uma vez que gráficos Q-Q compararam distribuições, não há necessidade de observar os valores como pares, como em um gráfico de dispersão, nem há necessidade mesmo serem iguais o número de valores nos dois grupos a serem comparados.

O termo "gráfico de probabilidades" às vezes, refere-se especificamente a um gráfico Q-Q, e menos comumente o gráfico P-P. O coeficiente de correlação do gráfico de probabilidade é uma grandeza derivada da ideia de gráficos Q-Q, que mede a concordância de uma distribuição ajustada com os dados observados e que às vezes é usada como um meio de ajuste de uma distribuição de dados.

Posições de plotagem

A escolha dos quantis de uma distribuição teórica pode depender do contexto e do propósito. Uma escolha, dada uma amostra de tamanho n, é k / n para k = 1, …, n, pois estes são os quantis que a distribuição amostral analisa. O último deles, n / n, corresponde ao percentil 100 (o valor máximo da distribuição teórica, que às vezes é infinito). Outras opções são o uso de (k − 0.5) / n, ou espaçar os pontos uniformemente na distribuição uniforme, usando k /(n + 1).^[3]

Muitas outras escolhas foram sugeridas, tanto formais quanto heurísticas, baseadas em teoria ou simulações. As subseções a seguir discutem algumas delas.

Heurística

Várias fórmulas diferentes foram usadas ou propostas como posições de plotagem. Tais fórmulas têm a forma (k − a) / (n + 1 − 2a) para algum valor de a no intervalo de 0 a 1, que dá um intervalo entre k / (n + 1) e (k − 1) / (n − 1)^[4] .^[5]

As expressões incluem:

• k / (n + 1)
• (k − 0,3) / (n + 0,4).^[6]
• (k − 0.3175) / (n + 0.365).^{[7][nota 1]}
• (k − 0.326) / (n + 0.348).^[8]
• (k − ⅓) / (n + ⅓).^{[nota 2]}
• (k − 0.375) / (n + 0.25).^{[nota 3]}
• (k − 0.4) / (n + 0.2).^[9]
• (k − 0.44) / (n + 0.12).^{[nota 4]}
• (k − 0.5) / n.^[11]
• (k − 0.567) / (n − 0.134).^[12]
• (k − 1) / (n − 1).^{[nota 5]}

Para tamanho de amostra com n grande, há pouca diferença entre essas várias expressões.

Um exemplo: Comparando uma amostra com a distribuição normal

Existem diversas distribuições populacionais teóricas, cada uma com características próprias. Os gráficos Q-Q podem utilizar qualquer uma delas, ou duas delas. De maneira mais geral, o teste de Shapiro–Wilk usa os valores esperados das estatísticas de ordem da distribuição dada; o gráfico e a linha resultantes produzem a estimativa de mínimos quadrados generalizados para localização e dispersão (da intercepto e inclinação da linha ajustada).^[13]

O uso comum de gráficos Q–Q é comparar a distribuição de uma amostra com uma distribuição teórica, como a distribuição normal padrão N(0,1).^[14]

Para exemplificar a construção de uma gráfico Q-Q, a partir desse ponto são apresentadas as funções matemáticas relacionadas com a distribuição normal, que é uma das distribuições estatísticas mais utilizadas.

Sendo a função de densidade de probabilidade da distribuição normal (com média ${\displaystyle \mu }$ e desvio-padrão ${\displaystyle \sigma }$):

f.d.p. ${\displaystyle ={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

A função ${\displaystyle {\mbox{erf}}(x)}$ é a função erro, utilizada para se integrar a função da distribuição normal padrão, com ${\displaystyle \mu =0}$ e ${\displaystyle \sigma =1}$:

${\displaystyle {\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$

Sendo ${\displaystyle {\mbox{erfc}}(x)+{\mbox{erf}}(x)=1}$, portanto ${\displaystyle {\mbox{erfc}}(x)}$ é complementar à função erro ${\displaystyle {\mbox{erf}}(x)}$.

${\displaystyle {\mbox{erfc}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt}$

Sendo A um conjunto de dados amostrais de tamanho n, ordenado crescentemente, no qual estão contidos os valores a₁, a₂, ...,a_k, ..., a_n, que apresentam média ${\displaystyle {\overline {a}}}$ e desvio-padrão ${\displaystyle s}$. Serão calculados quantis correspondentes q₁, q₂, ...,q_k, ..., q_n.

Seja ${\displaystyle \Phi }$ a função distribuição acumulada (f.d.a.) da distribuição normal padrão. Então a função distribuição acumulada para o k-ésimo elemento é:

${\displaystyle {\mbox{f.d.a}}=\Phi (a_{k})={\frac {1}{2}}\left[1+{\mbox{erf}}\left({\dfrac {a_{k}-{\overline {a}}}{s{\sqrt {2}}}}\right)\right]}$

Outra forma de se calcular a f.d.a. é:

${\displaystyle {\mbox{f.d.a.}}=\Phi (a_{k})={\frac {1}{2}}\,{\mbox{erfc}}\left({\dfrac {a_{k}-{\overline {a}}}{s{\sqrt {2}}}}\right)}$

A inversa da função erro complementar é: ${\displaystyle {\mbox{erfc}}^{-1}(z)}$

que se relaciona com inversa da função erro^[15]: ${\displaystyle {\mbox{erf}}^{-1}(z)={\mbox{erfc}}^{-1}(1-z)}$

Escolhendo uma regra para um gráfico Q-Q bicaudal

As fórmulas das posições de plotagem (descritas numa seção acima) são definidas para o intervalo [0,1]. Mas para as posições de plotagem abrangerem o domínio [-1,1] é necessário multiplicar a fórmula por dois, e subtrair uma unidade. Ou seja, ${\displaystyle [-1,1]\sim }$ 2((k − a) / (n + 1 − 2a)) -1. Essa fórmula garante que a mediana (percentil 50) recaia exatamente quando a f.d.a. for 1/2 e ${\displaystyle {\mbox{erf}}^{-1}(0)=0}$.

Coordenada ${\displaystyle x_{k}=z_{\mbox{esperado}}={\sqrt {2}}\,{\mbox{erf}}^{-1}\left({\frac {2(k-a)}{(n+1-2a)}}-1\right)}$

A tunagem^[16] das posições de plotagem para a distribuição normal

Acima, foi fixado o ponto central da curva (percentil 50). O valor de a altera a dispersão dos quantis, sem alterar a posição do ponto central. É necessário garantir que a dispersão dos quantis seja idêntica à dispersão dos percentis. Para isso ocorrer, precisamos definir o valor de a, que é o mesmo para todos os percentis diferentes de percentil 50.

Segundo Wolfram,^[17] o percentil "p" é calculado na posição ${\displaystyle k={\frac {p(n+1)}{100}}}$.

Assim, é escolhido arbitrariamente o terceiro quartil, ou percentil 75, cuja f.d.a. é 3/4, situação em que o escore-z^[18] ${\displaystyle \approx 0{,}674489741}$ e ${\displaystyle {\mbox{erf}}^{-1}(1/2)\approx 0{,}47693627}$. Para se encontrar o valor de a da regra bicaudal das posições de plotagem utilizamos:

${\displaystyle {\frac {2(k-a)}{(n+1-2a)}}-1\;\;\;\;(1)}$

e ${\displaystyle k={\frac {75(n+1)}{100}}.\;\;\;\;(2)}$

Substituindo (2) em (1):

${\displaystyle {\frac {2\left({\frac {75(n+1)}{100}}-a\right)}{(n+1-2a)}}-1}$

Assim, neste exemplo, atribui-se arbitrariamente a regra bicaudal das posições de plotagem ao percentil 75, fazendo:

${\displaystyle {\frac {2\left({\frac {75(n+1)}{100}}-a\right)}{(n+1-2a)}}-1={\frac {1}{2}}}$

Resolvendo a equação acima, encontra-se que a=0, que corresponde:

Coordenada ${\displaystyle x_{k}=z_{\mbox{esperado}}={\sqrt {2}}\,{\mbox{erf}}^{-1}\left({\frac {2{\mbox{k}}}{n+1}}-1\right)}$^{[nota 6]}

Coordenada ${\displaystyle y_{k}=z_{\mbox{obtido}}=q_{k}={\frac {a_{k}-{\overline {a}}}{s}}}$

Interpretação

Os pontos plotados em um gráfico Q–Q são sempre crescentes quando vistos da esquerda para a direita. Se as duas distribuições comparadas forem idênticas, o gráfico Q–Q segue a linha de 45° y = x. Se as duas distribuições concordarem depois de transformar linearmente os valores em uma das distribuições, então o gráfico Q–Q segue alguma linha, mas não necessariamente a linha y = x . Se a inclinação geral do gráfico Q–Q for mais plana que a linha y = x, a distribuição plotada no eixo horizontal é mais disperso do que a distribuição plotada no eixo vertical. Por outro lado, se a inclinação geral do gráfico Q–Q for mais íngreme do que a linha y = x, a distribuição plotada no eixo vertical é mais dispersa do que a distribuição plotada no eixo horizontal. Os gráficos Q–Q são frequentemente arqueados, ou em forma de "S", indicando que uma das distribuições é mais assimétrica que a outra, ou que uma das distribuições tem caudas mais pesadas que a outra.

A intercepção e inclinação de uma regressão linear entre os quantis dá medidarelativas da localização e da dispersão das amostras. Se a mediana da distribuição plotada no eixo horizontal for 0, a interceptação de uma linha de regressão é uma medida de localização e a inclinação é uma medida de dispersão. A distância entre as medianas é outra medida de localização relativa refletida em um gráfico Q–Q. O "coeficiente de correlação do gráfico de probabilidade" (gráfico PPCC) é o coeficiente de correlação entre os quantis. Quanto mais próximo o coeficiente de correlação estiver de 1, mais próximas as distribuições estarão de serem versões deslocadas e escalonadas uma das outra.

Notas

1. Observe que isso também usa uma expressão diferente para o primeiro e o último pontos. cita o trabalho original de (Filliben 1975). Esta expressão é uma estimativa das medianas de U_(k).
2. Uma fórmula simples (e fácil de lembrar) para traçar posições; usado em BMDP statistical package.
3. Esta é a aproximação mais antiga de (Blom 1958) e é a expressão usada em MINITAB.
4. Esta posição de plotagem foi usada por Irving I. Gringorten^[10] para traçar pontos em testes para a distribuição de Gumbel.
5. Usados por Filliben (1975), esses posições de plotagem são iguais aos modos de U_(k).
6. Para evitar vieses de análise no gráfico Q-Q, o valor de a da regra bicaudal das posições de plotagem deve ser calculado para cada distribuição estatística teórica, com a finalidade de que cada quantil recaia exatamente no percentil correspondente.