Função multivalorada

Em matemática, uma função multivalorada (forma abreviada: multifunção; outros nomes: função polivalente, função de conjunto valorizado, mapa de conjunto valorizado, mapa ponto para conjunto, mapa multi-valorada, multi-mapa, correspondência, portadora, multívoca, polídroma, multiaplicação) é uma relação binária (isto é, cada entrada é associada com pelo menos uma saída) em que pelo menos uma entrada é associada a várias (duas ou mais) saídas.

${\displaystyle \forall a\in A\quad \exists b\in B\quad a\,R\,b}$

Este diagrama não representa uma função, mas uma função multivalorada, pois o elemento 3 em X está associado a dois elementos c e d, em Y.

Note que uma relação binária é uma função multivalorada se e somente se é uma relação total. Note também que toda função é multivalorada.

Outra forma de entender este conceito é como uma função ${\displaystyle F\colon A\rightsquigarrow B}$ que toma vários valores em B para cada ponto de A.^[1]

Uma função multivalorada de A em B pode ser representada por uma função de A no conjunto de partes de B, isto é, cada elemento de A é associado a um subconjunto não vazio de B.^[1] No exemplo abaixo, a função ${\displaystyle f}$ representa os elementos ${\displaystyle b}$ do codomínio ${\displaystyle B}$ aos quais cada elemento ${\displaystyle a}$ do domínio ${\displaystyle A}$ é relacionado pela multifunção ${\displaystyle R}$.

${\displaystyle f:A\to \wp B\quad$ :\quad \forall a\in A.\quad f(a)=\left\{b\in B\,:\,a\,R\,b\right\}}

Toda valoração de ${\displaystyle f}$ será um conjunto não-nulo.

Exemplos

• Todo número complexo (incluindo os números reais), com exceção do zero, tem duas raízes quadradas. Todo número complexo tem 3 raízes cúbicas complexas.
• Funções trigonométricas inversas têm valores múltiplos porque funções trigonométricas são periódicas. Temos tan(π/4) = tan(5π/4) = tan(−3π/4). Consequentemente podemos pensar que arctan(1) tem valores múltiplos como π/4, 5π/4 e −3π/4 radianos, entre outros.

Referências

1. Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 1. Multiaplicazioni e "best reply" Arquivado em 9 de outubro de 2007, no Wayback Machine. [em linha]