Função de Lagrange

Na mecânica clássica, a função de Lagrange, lagrangiana ^{(português brasileiro)} ou lagrangiano ^{(português europeu)} (${\displaystyle {\mathcal {L}}}$) de um sistema é uma função expressa em termos das coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_{i}}$, da taxa de variação dessas coordenadas (velocidades generalizadas) ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ e do tempo t, e dada matematicamente pela diferença entre a energia cinética (${\displaystyle T}$) e a energia potencial generalizada (${\displaystyle U}$) do sistema:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}=T-U}$.^{[Ref. 1][Ref. 2][Ref. 3]}

Por padrão a energia potencial é função apenas das coordenadas generalizadas (sistemas conservativos) e/ou do tempo, contudo, a exemplo do que observa-se para o caso eletromagnético, quando na forma adequada, admite-se o uso de um potencial "generalizado", que é função também das velocidades generalizadas. O potencial eletromagnético generalizado^{[1][Ref. 3]} permite a descrição de partículas elétricas imersas em campos eletromagnéticos via Mecânica de Lagrange, a exemplo. Forças dissipativas proporcionais às velocidades generalizadas também são admissíveis via potenciais dissipativos, a exemplo o potencial dissipativo de Rayleigh.^{[2][3] [Ref. 3]}

A lagrangiana é termo central na integral temporal que define o que se denomina em Física por ação. Diferente da Mecânica de Newton, junto com o princípio de Hamilton da ação em extremo, a lagrangiana e a Mecânica de Lagrange definem toda a dinâmica de um sistema sem recorrer a vetores e diagramas vetoriais, fazendo-o de forma a usar essencialmente funções escalares. Nesses termos a lagrangiana porta-se como uma equação fundamental do sistema a qual associa-se, encerrando em si todas as informações acerca do sistema. Pode-se pois, a partir dela e do formalismo atrelado à Mecânica de Lagrange, obter qualquer informação desejada acerca do sistema. A lagrangiana possui dimensões de energia, joules no S.I..^{[Ref. 1][Ref. 2][Ref. 3]}

Associado à lagrangiana de um sistema, via Transformada de Legendre, tem-se o hamiltoniano ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ do sistema, essa uma função das coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_{i}}$, dos momentos conjugados generalizados ${\displaystyle p_{i}}$ e do tempo t. O Hamiltoniano ${\displaystyle H_{(q_{i},p_{i},t)}}$, definido por H = T + U, também caracteriza uma equação fundamental, e juntamente com o formalismo da Mecânica de Hamilton, constitui formalismo alternativo plenamente equivalente ao de Lagrange no que tange à descrição da dinâmica do sistema.^{[Ref. 2]} Tais formalismos encontram importante aplicação também dentro da relatividade.^{[Ref. 4]}

Embora amplamente aplicada ao campo da dinâmica de energia e matéria, o cálculo variacional não limita o raciocínio à campos específicos da Física. Diversos problemas nas mais variadas áreas mostram-se suscetíveis ao tratamento similar.

Exemplos

Mecânica

Partícula livre

Uma partícula livre move-se em ausência de força resultante, idealmente em ausência de força aplicada. Logo sua lagrangiana define-se apenas por sua energia cinética em caso limite.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-U=T={\frac {1}{2}}m[{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}]}$

onde, conforme convenção, ${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=v_{x}}$ e assim por diante.

Para movimento confinado ao plano xy, e em coordenadas polares:

${\displaystyle x=r\cos \theta }$

${\displaystyle y=r\sin \theta }$

de onde, derivando-se:

${\displaystyle {\dot {x}}={\dot {r}}\cos \theta -r{\dot {\theta }}\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {y}}={\dot {r}}\sin \theta +r{\dot {\theta }}\cos \theta }$

Quadrando-se as velocidades generalizadas e com o auxílio de algumas relações trigonométricas tem-se pois que:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},t)}={\frac {1}{2}}m[{\dot {r}}^{2}+{(r{\dot {\theta }})}^{2}]}$

Máquina de Atwood

Máquina de Atwood. No texto, x corresponde à distância da massa da esquerda (massa M1) até a linha horizontal que passa pelo centro do disco. A altura da massa M2 é l-x, onde l representa tamanho total de corda em suspensão.

Na máquina de Atwood, considerando g a aceleração da gravidade, M₁ a massa da esquerda e M₂ a massa da direita, a energia potencial do sistema escreve-se:

${\displaystyle U=-M_{1}gx-M_{2}gy}$ ,

uma vez adotado o nível de referência como sendo uma linha horizontal a passar pelo centro do disco. Nessa situação x e y representam os tamanhos em suspensão da corda que sustentam respectivamente as massas M₁ e M₂.

Há um vínculo entre x e y de tal forma que ${\displaystyle x+y=c}$ é uma constante, o tamanho total de corda em suspensão. Nesses termos, basta uma coordenada generalizada para descrever-se o problema, à escolha, x, e reescreve-se a energia potencial gravitacional como:

${\displaystyle U=-M_{1}gx-M_{2}g(c-x)}$

Em uma máquina de Atwood ideal a polia e a corda têm massas desprezíveis se comparadas às massas M₁ e M₂. Nesse caso a energia cinética total se escreve:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M_{1}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{2}\left({\frac {d(c-x)}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}(M_{1}+M_{2}){\dot {x}}^{2}}$

e a função de Lagrange escreve-se:

${\displaystyle L_{(x,{\dot {x}},t)}=T-U={\frac {1}{2}}(M_{1}+M_{2}){\dot {x}}^{2}+M_{1}gx+M_{2}g(c-x)}$

que encerra em si toda informação necessária ao cálculo da dinâmica do sistema.

Seguindo-se com o formalismo de Lagrange, tem-se que a equação de movimento deve satisfazer à equação de Lagrange:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$ .

Neste caso há apenas uma coordenada generalizada, q_i = x. Determinando-se as derivadas tem-se:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=(M_{1}-M_{2})g}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M_{1}+M_{2}){\dot {x}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=(M_{1}+M_{2}){\ddot {x}}}$

Levando os resultados à equação de Lagrange tem-se a equação diferencial para o sistema:

${\displaystyle {\ddot {x}}=a={\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}g}$

onde a é a aceleração das massas. Tal equação é análoga à obtida via aplicações diretas da lei de Newton conforme descrito em artigo específico, conforme esperado.

A equação horária para x obtém-se com facilidade doravante mediante integração, sendo a resposta análoga à de um movimento retilíneo uniformemente variado com aceleração constante ${\displaystyle a={\ddot {x}}}$:

${\displaystyle x_{(t)}=X_{0}+V_{0}t+{\frac {1}{2}}\left({\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}g\right)t^{2}}$

com ${\displaystyle X_{0}}$ e ${\displaystyle V_{0}}$ correspondendo a constantes, respectivamente o comprimento em suspensão inicial da corda para a massa M₁ e a velocidade descendente inicial (no sentido de x crescente) da massa M₁, determinados no instante em que zera-se o tempo (t=0s).

Microeconomia

Na microeconomia a função lagrangiana (ou simplesmente lagrangiano) é uma função utilizada para resolver problemas de otimização com restrição, tanto em mecânica quanto em outras áreas não necessariamente da física.

Suponha uma economia com apenas dois bens, banana (b) e abacate (a). Pode-se querer maximizar a utilidade, grosso modo a satisfação do consumidor - no problema representada pela função "u", que é logaritmicamente tanto maior quanto maior for o consumo dos bens banana e abacate - mantida contudo uma restrição orçamentária especificada.

O problema resume-se pois em:

• ${\displaystyle \max u\left(q_{a},q_{b}\right)=\max {\underbrace {\left(\ln(q_{a})+\ln(q_{b})\right)} _{u(q_{a},q_{b})}}}$

com ${\displaystyle q_{b},q_{a}}$ representando a quantidade consumida de banana e de abacate respectivamente, e o símbolo ${\displaystyle ln}$ representa o logaritmo neperiano, isso sob uma restrição orçamentária que traduz-se em linguagem matemática por:

• ${\displaystyle p_{a}\times q_{a}+p_{b}\times q_{b}\leq S}$,

com ${\displaystyle p_{b},p_{a}}$ correspondendo aos preços de banana e abacate respectivamente e S ao salário do consumidor em questão.

Pela lei de Walras, esta desigualdade vale como igualdade, ou seja, o consumidor gastará todo o seu salário.

O lagrangiano deste problema fica então^[4]:

${\displaystyle L\left(x_{1},x_{2},\mu \right)\equiv \underbrace {\left(\ln(q_{a})+\ln(q_{b})\right)} _{u(q_{a},q_{b})}-\mu \left(p_{a}\times q_{a}+p_{b}\times q_{b}-S\right)}$

A variável ${\displaystyle \mu }$ que multiplica a restrição é chamada de multiplicador de lagrange.^[4]

A quantidade ótima de consumo ${\displaystyle (q_{a}^{*},q_{b}^{*})}$ que resolve este problema atende a três condições:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mu }}=0\rightarrow \left(p_{a}\times q_{a}+p_{b}\times q_{b}-S\right)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{a}}}=0\rightarrow \underbrace {{\frac {1}{q_{a}}}\times 1} _{\frac {\partial ln(q_{a})}{\partial q_{a}}}+\left(-\mu p_{a}\right)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{b}}}=0\rightarrow \underbrace {{\frac {1}{q_{b}}}\times 1} _{\frac {\partial ln(q_{b})}{\partial q_{b}}}+\left(-\mu p_{b}\right)=0}$

Referências

1. Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (1995). Classical Dynamics of Particles and Systems (em inglês) 4 ed. Fort Worth: Saunders College Publications. ISBN 978-0030973024
2. Aguiar, Márcio A. M. de - Tópicos em Mecânica Clássica - 11 de novembro de 2010
3. Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (em inglês) 2 ed. Reading: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5
4. R.P. Feynmann (1948): Review of Modern Physics, 20, p. 367.

• Outras referências:

1. ${\displaystyle U=-q\phi +{\frac {q}{c}}{\vec {A}}.{\vec {v}}}$ em unidades gaussianas.
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {1}{2}}\Sigma (k_{x}{v_{ix}}^{2}+k_{y}{v_{iy}}^{2}+k_{z}{v_{iz}}^{2})}$ com soma sobre as partículas i do sistema. Segue-se que a força de atrito ${\displaystyle f_{a_{x}}=-k_{x}v_{x}=(-\nabla _{v}{\mathcal {F}})_{x}}$ e assim por diante.
3. Em casos onde as forças não podem ser expressas via potenciais, essas são explicitamente inseridas durante a solução via termos conhecidos por forças generalizadas ${\displaystyle Q_{j}}$.
4. SIMON, Carl P., e BLUME,Lawrence. Matemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Página 425 e 426.

Ver também

• Mecânica Lagrangiana
• Multiplicadores de Lagrange
• Joseph-Louis Lagrange

• Portal da ciência
• Portal da física