Em matemática, um fator automórfico é um certo tipo de função analítica, definida sobre subgrupos de SL2(R), aparecendo na teoria de formas modulares. O caso geral, para grupos gerais, é apresentado no artigo 'fator de automorfia'.
Um fator automórfico de peso k é uma função
- :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }
![{\displaystyle \nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f8871e7832c87b8cc102671721e7cc27622e23)
satisfazendo as quatro propriedades dadas abaixo. Aqui, a notação
e
refere-se ao meio plano superior e ao plano complexo, respectivamente. A notação
é um subgrupo de SL(2,R), tal como, por exemplo, um grupo fuchsiano. Um elemento
é uma matriz 2x2
![{\displaystyle \gamma =\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0461ebceddd9313f7edd2541aacad2a9ba9fc1c7)
com
números reais, satisfazendo
.
Um fator automórfico deve satisfazer:
- 1. Para um determinado
, a função
é uma função holomorfa de
.
- 2. Para todo
e
, tem-se
![{\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06fa86ba6c8633aa3b9df3147e8e71a5b040776)
- para um determinado número real k.
- 3. Para todo
e
, tem-se
![{\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e252016bab91d9cf210fe1d167049b212efbd2)
- Aqui,
é a transformação de Möbius, ou transformação linear fracional de
por
.
- 4.Se
, então para todo
e
, tem-se
![{\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a355f755e44c87f63fbf863af09d9513fd025e1e)
- Aqui, I denota a matriz identidade.
Cada fator automórfico pode ser escrito como
![{\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485d5161a3bccd89266809af572843b51cc9e7fd)
com
![{\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80150eea1cfc9d8ba58aa99f870874572c666a7)
A função :\Gamma \to S^{1}}
é chamada um sistema multiplicador. Claramente,
,
enquanto, se
, então
![{\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3d24883dc2550262c7e35cfa120fdf288e0792)
São estudados fatores automórficos de grau n de variedade complexa ou de uma superfície de Riemann compacta.[1]
- Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (O capítulo 3 é inteiramente dedicado a fatores automórficos para o grupo modular.)