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Em matemática, uma extensão algébrica é uma extensão de campo L/K tal que todo elemento do corpo maior L é algébrico sobre o corpo menor K; isto é, todo elemento de L é raiz de um polinômio diferente de zero com coeficientes em K.[1][2] Uma extensão de campo que não é algébrica é dita transcendental e deve conter elementos transcendentais, ou seja, elementos que não são algébricos.[3][4]
As extensões algébricas do campo dos números racionais são chamados de campos de números algébricos e são os principais objetos de estudo da teoria algébrica dos números. Outro exemplo de extensão algébrica comum é a extensão dos números reais pelos números complexos.
Todas as extensões transcendentais são de grau infinito. Isto, por sua vez, implica que todas as extensões finitas são algébricas.[5] A recíproca, entretanto, não é verdadeira: existem infinitas extensões que são algébricas.[6] Por exemplo, o corpo de todos os números algébricos é uma extensão algébrica infinita dos números racionais.[7]
Seja E um campo de extensão de K e a ∈ E. O menor subcampo de E que contém K e a é comumente denotado Se a é algébrico sobre K, então os elementos de K(a) podem ser expressos como polinômios em a com coeficientes em K; isto é, K(a) também é o menor anel contendo K e a. Nesse caso, é uma extensão finita de K (é um espaço vetorial K de dimensão finita) e todos os seus elementos são algébricos sobre K.[8] Essas propriedades não são válidas se a não for algébrico. Por exemplo, , e ambos são espaços vetoriais de dimensão infinita sobre [9]
Um campo algébrico fechado F não possui extensões algébricas próprias, ou seja, não possui extensões algébricas E com F < E.[10] Um exemplo é o campo dos números complexos. Todo corpo tem uma extensão algébrica que é algebricamente fechada (chamada de fechamento algébrico), mas provar isso em geral requer alguma forma do axioma da escolha.[11]
Uma extensão L/K é algébrica se e somente se toda sub K-álgebra de L é um corpo.
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