Equação linear
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Diz-se em matemática que uma equação polinomial a indeterminadas da forma
em que os coeficientes pertencem a um anel comutativo
e
é o nulo[1] do anel, é uma equação linear sobre
. De outro modo, fixado um polinômio
de grau um,
é uma equação linear.
Uma equação linear pode não vir expressa na forma mais simples acima, muito embora seja sempre possível exprimi-la assim. Por exemplo, expressões da forma e
, em que
,
e
, são igualmente equações lineares; a primeira uma forma particular da segunda (tome para
o polinômio de grau 0 constante igual a
). Como
e
são polinômios,
e
são equações lineares reduzidas a forma mais simples.
Nem sempre uma equação linear sobre possuirá solução sobre
, mas sempre possuirá solução em alguma extensão de
. Por exemplo, se
é um subanel de
, toda equação linear sobre
possuirá solução em
. Na verdade, para ser mais preciso, se
é um subanel de um subcorpo
de
, então toda equação linear sobre
possui solução em
.
Equações lineares com coeficientes reais são de grande importância em física, engenharia e matemática aplicada. Muitos problemas modelados por equações não-lineares podem ser aproximados localmente[2] por equações lineares. Realmente, essas áreas valem-se largamente do emprego de variedades, objetos geométricos que podem ser aproximados, localmente, por espaços euclideanos, objetos geométricos descritos corretamente por equações lineares[3].