Equação de Fokker–Planck

A equação de Fokker–Planck, denominada assim por Adriaan Fokker^[1] e Max Planck,^[2] e também conhecida como equação avançada de Kolmogórov (por Andréi Kolmogórov, quem primeiro a introduziu em um artigo de 1931 ^[3]), descreve a evolução temporal da função de densidade de probabilidade que mostra a posição e a velocidade de uma partícula, ainda que possa ser generalizada a outro tipo de variáveis.^[4] A equação é aplicável a sistemas que possam ser descritos por um pequeno número de "macrovariáveis", onde outros parâmetros variam tão rapidamente com o tempo que podem ser tratados como "ruído" ou uma perturbação.

História

O primeiro uso da equação de Fokker-Planck foi a descrição estatística do movimento browniano de uma partícula no seio de um fluido. O movimento browniano segue a equação de Langevin, que pode ser resolvida para diferentes perturbações estocásticas, mediante resultados médio. Entretanto, como alternativa a este procedimento, pode-se usar a equação de Fokker-Planck e considerar uma densidade de probabilidade da posição e do tempo, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbf {x} ,t)}$. Esta distribuição de probabilidade dependente do tempo pode ainda depender de um conjunto de N macrovariáveis ${\displaystyle \ x_{i}}$, de tal maneira que o movimento browniano em questão pode ser representado por uma equação de Fokker-Planck da forma:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {P}}}{\partial t}}=\left[-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})\right]{\mathcal {P}}}$

onde:

${\displaystyle D^{1}}$ é o termo de arraste, que é dado por um vetor.

${\displaystyle D^{2}}$ é termo difusivo, que é dado por uma matriz.

Relação com as equações diferenciais estocásticas

A equação de Fokker–Planck pode ser usada para calcular a densidade de probabilidade associada a uma equação diferencial estocástica. Por exemplo, à equação diferencial de Itō:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,\mathrm {d} t+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,\mathrm {d} \mathbf {W} _{t},}$

onde:

${\displaystyle \mathbf {X} _{t}\in \mathbb {R} ^{N}}$ é o estado do sistema.

${\displaystyle \mathbf {W} _{t}\in \mathbb {R} ^{M}}$ caracteriza um processo de Wiener padrão M-dimensional.

Se a distribuição inicial é dada por ${\displaystyle \mathbf {X} _{0}\sim {\mathcal {P}}(\mathbf {x} ,0)}$, então a densidade de probabilidade ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbf {x} ,t)}$ do estado ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$ é dada pela equação de Fokker–Planck com o termo de arraste e o termo de difusão dado por:

${\displaystyle D_{i}^{1}(\mathbf {x} ,t)=\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\qquad D_{ij}^{2}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{kj}^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} ,t).}$

Exemplos

Um processo de Wiener escalar gerado pela equação diferencial estocástica:

${\displaystyle \ \mathrm {d} X_{t}=\mathrm {d} W_{t}.}$

que tem um termo de arraste nulo, um termo e uma matriz de difusão dada pelo coeficiente 1/2, tem uma densidade de probabilidade dada pela seguinte equação de Fokker-Planck:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {P}}(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {P}}(x,t)}{\partial x^{2}}}}$

que resulta ser precisamente a forma mais sensível possível da lei de Fick para a difusão.

Considerações computacionais

Movimento Browniano seege a equação de Langevin, a qual pode ser resolvida para muitas esforços estocásticos com os resultados sendo a média (o método de Monte Carlo, conjunto canônico em dinâmica molecular). Entretanto, ao invés da abordagem de computação intensiva, pode-se usar a equação de Fokker–Planck e considerar a probabilidade ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbf {v} ,t)d\mathbf {v} }$ da partícula tendo uma velocidade no intervalo ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )}$ quando ele inicia seu movimento com ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ no tempo 0.

Solução

Sendo uma equação diferencial parcial, a equação de Fokker–Planck pode ser resolvida analiticamente somente em casos especiais. Uma analogia formal da equação Fokker–Planck com a equação de Schrödinger permite o uso de técnicas avançadas de operador conhecidas da mecânica quântica para sua solução em um número de casos. Em muitas aplicações, tem-se somente interesse na distribuição de probabilidade do estado estacionário ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{0}(x)}$, o qual pode ser encontrado de ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}_{0}(x)=0}$. O cálculo das médias dos tempos de primeira passagem e as probabilidades de separação podem ser reduzidas para a solução de uma equação diferencial ordinária que está intimamente relacionada com a equação de Fokker-Planck.

Casos particulares com solução e inversão conhecidas

Em matemática financeira para a modelagem do "sorriso da volatilidade" de opções via a volatilidade local, tem-se o problema de obter um coeficiente de difusão ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$ consistentente com uma densidade de probabilidade obtida das quotas opção do mercado. O problema é portanto, uma inversão da equação de Fokker Planck: Dada a densidade P(x,t) da opção subjacente a X deduzida da opção de mercado, objetiva-se encontrar a volatilidade local ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$ consistentente com P. Isto é um problema inverso que foi solucionado de maneira genérica por Dupire (1994, 1997) com uma solução não paramétrica. Brigo e Mercurio (2002, 2003) propuseram uma solução na forma paramétrica via uma volatilidade local particular ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$ consistentente com uma solução da equação de Fokker–Planck dada por uma mistura de distribuição. Mais informação está disponível também em Fengler (2008), Gatheral (2008) e Musiela e Rutkowski (2008).

Equação de Fokker–Planck e integração funcional

Cada equação de Fokker–Planck é equivalente a uma integração funcional. A formulação de integração funcional é um excelente ponto de partida para a aplicação de métodos de teoria de campos.^[5] É usada, por exemplo, em dinâmica crítica.

Uma derivação da integração funcional é possível da mesma maneira em mecânica quântica, simplesmente porque a equação de Fokker–Planck é formalmente equivalente à equação de Schrödinger. Aqui estão etapas para a equação de Fokker–Planck (FP) com uma variável x.

Escreva a equação FP na forma

${\displaystyle \partial _{t}\,{\mathcal {P}}\left(x^{\prime },t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\left(\left[D_{1}\left(x,t\right){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}\left(x,t\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\delta \left(x^{\prime }-x\right)\right){\mathcal {P}}\left(x,t\right).}$

Integre sobre um intervalo de tempo ${\displaystyle \varepsilon }$,

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(x^{\prime },t+\varepsilon \right)=\int _{-\infty }^{\infty }\,dx\left(\left(1+\varepsilon \left[D_{1}\left(x,t\right){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}\left(x,t\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\right)\delta \left(x^{\prime }-x\right)\right){\mathcal {P}}\left(x,t\right)+O\left(\varepsilon ^{2}\right).}$

Inserindo a integral de Fourier

${\displaystyle \delta \left(x^{\prime }-x\right)=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}\left(x-x^{\prime }\right)}}$

para a função ${\displaystyle \delta }$,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}\left(x^{\prime },t+\varepsilon \right)&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}\left(x,t\right)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}\left(x,t\right)\right]\right)e^{{\tilde {x}}\left(x-x^{\prime }\right)}{\mathcal {P}}\left(x,t\right)+O\left(\varepsilon ^{2}\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {\left(x^{\prime }-x\right)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}\left(x,t\right)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}\left(x,t\right)\right]\right){\mathcal {P}}\left(x,t\right)+O\left(\varepsilon ^{2}\right).\end{aligned}}}$

Esta equação expressa ${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(x^{\prime },t+\varepsilon \right)}$ como funcional de ${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(x,t\right)}$. Por meio de interações em ${\displaystyle \left(t^{\prime }-t\right)/\varepsilon }$ vezes e obtendo o limite ${\displaystyle \varepsilon \longrightarrow 0}$ resulta a integração funcional com Lagrangiano

${\displaystyle L=\int dt\left[{\tilde {x}}D_{1}\left(x,t\right)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}\left(x,t\right)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].}$

As variáveis ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ conjugadas a ${\displaystyle x}$ são chamadas "variáveis resposta".^[6]

Embora formalmente equivalentes, problemas diferentes podem ser resolvidos mais facilmente na equação de Fokker–Planck ou a formulação de integração funcional. A distribuição de equilíbrio por exemplo pode ser obtida mais diretamente da equação de Fokker–Planck.

Referências

1. A. D. Fokker, Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld, Ann. Phys. 348 (4. Folge 43), 810–820 (1914).
2. M. Planck, Sitz.ber. Preuß. Akad. (1917).
3. Andrei Kolmogorov, "On Analytical Methods in the Theory of Probability", 448-451, (1931). (em alemão)
4. Kadanoff, Leo P. (2000). Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization. [S.l.]: World Scientific. ISBN 9810237642 books.google.com
5. Zinn-Justin, Jean (1996). Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851882-X
6. Janssen, H. K. (1976). «On a Lagrangean for Classical Field Dynamics and Renormalization Group Calculation of Dynamical Critical Properties». Z. Physik. B23 (4): 377–380. doi:10.1007/BF01316547

• Hannes Risken, "The Fokker–Planck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
• Crispin W. Gardiner, "Handbook of Stochastic Methods", 3rd edition (paperback), Springer, ISBN 3-540-20882-8.

Ligações externas

• Fokker–Planck equation em Earliest known uses of some of the words of mathematics (em inglês)

Ver também

• Equações de Navier-Stokes
• Equação de transporte de Boltzmann
• Equação regressiva de Kolmogorov
• Equação de Vlasov
• Equação mestre
• Hierarquia Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon de equações
• Processo Ornstein–Uhlenbeck

• Portal de probabilidade e estatística