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Em álgebra linear, Desigualdade de Weyl é um teorema sobre como os autovalores de um matriz hermitiana são perturbados. Esse teorema de 1912 carrega o nome de seu autor Hermann Weyl. Esse resultado é útil se quisermos saber os autovalores da matriz Hermitiana H, mas há uma incerteza sobre as entradas de H.[1] Este resultado era conhecido no Século 19, mas não foi publicado na íntegra [2]
Seja H a matriz exata e P ser uma matriz de perturbação que representa a incerteza. Considere a matriz . Seja M com autovalores , H com autovalores e P com autovalores
O teorema afirma que se M, H e P são todas matrizes Hermitianas n por n, então a seguinte desigualdade vale para :
Se P é positiva definida (e.g. ) então isso implica que
Note que podemos ordenar os autovalores porque as matrizes são Hermitiana e, portanto, os autovalores são reais.
Na teoria dos números, a desigualdade de Weyl afirma que se M, N, a e q são inteiros, com a e q co-primo, q > 0, e f é um polinômio real de grau k cujo coeficiente líder c satisfaz
para algum t maior ou igual a 1, então para qualquer número real positivo temos
Essa desigualdade só será útil quando
pois, de outra forma, estimar o módulo da soma exponencial[nota 1] por meio da desigualdade de triângulo como fornece um melhor limite.
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