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Na matemática, especialmente na teoria de conjuntos, um conjunto A é Dedekind-infinito ou infinito de Dedekind se A é equipotente a um subconjunto próprio. Um conjunto é Dedekind-finito se ele não é Dedekind-infinito. O nome provém do matemático alemão Richard Dedekind, que definiu "infinito" dessa maneira no seu famoso artigo de 1888 O que são e o que precisam ser os números.[1]
Dado um conjunto A, dizemos que A é Dedekind-infinito se A é equipotente a B, com B⊆A e B≠A. Pela definição de equipotência, isso significa que existe uma função bijetiva entre A e B.[2]
Como exemplo, consideremos o conjunto do números naturais e a função
Onde é o conjunto dos inteiros positivos: . Portanto, o conjunto dos números naturais é Dedekind-infinito. Para um outro exemplo, considere o intervalo fechado em e a função:
.
Portanto, o intervalo é Dedekind-infinito.
As seguintes propriedades podem ser demonstradas em ZF sem o axioma da escolha.
O axioma da escolha implica ZF a recíproca das proposições acima:
Mas essas proposições não podem ser demonstradas sem o axioma da escolha, se ZF é consistente.[9]
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