Coordenadas curvilíneas
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Em geometria, as coordenadas curvilíneas são um sistema de coordenadas para o espaço euclidiano no qual as linhas de coordenadas podem ser curvas. Essas coordenadas podem ser derivadas de um conjunto de coordenadas cartesianas usando uma transformação que é localmente invertível (um mapa um-para-um) em cada ponto. Isso significa que se pode converter um ponto dado em um sistema de coordenadas cartesianas em suas coordenadas curvilíneas e vice-versa. O nome coordenadas curvilíneas, cunhado pelo matemático francês Lamé, deriva do fato de que as superfícies de coordenadas dos sistemas curvilíneos são curvas.
Exemplos bem conhecidos de sistemas de coordenadas curvilíneas no espaço euclidiano tridimensional ( R 3 ) são coordenadas polares cilíndricas e esféricas . Uma superfície de coordenadas cartesianas neste espaço é um plano de coordenadas ; por exemplo, z = 0 define o plano x - y . No mesmo espaço, a superfície coordenada r = 1 em coordenadas polares esféricas é a superfície de uma esfera unitária, que é curva. O formalismo das coordenadas curvilíneas fornece uma descrição unificada e geral dos sistemas de coordenadas padrão.
As coordenadas curvilíneas são frequentemente usadas para definir a localização ou distribuição de quantidades físicas que podem ser, por exemplo, escalares, vetores ou tensores . Expressões matemáticas envolvendo essas quantidades em cálculo vetorial e análise de tensores (como gradiente, divergência, ondulação e laplaciano ) podem ser transformadas de um sistema de coordenadas para outro, de acordo com as regras de transformação para escalares, vetores e tensores. Essas expressões tornam-se então válidas para qualquer sistema de coordenadas curvilíneas.
Um sistema de coordenadas curvilíneas pode ser mais simples de usar do que o sistema de coordenadas cartesianas para algumas aplicações. O movimento das partículas sob a influência de forças centrais é geralmente mais fácil de resolver em coordenadas polares esféricas do que em coordenadas cartesianas; isso é verdade para muitos problemas físicos com simetria esférica definida em R 3 . Equações com condições de contorno que seguem superfícies de coordenadas para um determinado sistema de coordenadas curvilíneas podem ser mais fáceis de resolver nesse sistema. Embora se possa descrever o movimento de uma partícula em uma caixa retangular usando coordenadas cartesianas, o movimento em uma esfera é mais fácil com coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas são os sistemas de coordenadas curvilíneas mais comuns e são usadas em ciências da Terra, cartografia, mecânica quântica, relatividade e engenharia .