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espaço onde recobrimentos abertos têm subcobertura finita em teoria dos conjuntos Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, enumeravelmente compacto (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, Kuratowski, Sierpiński e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje (Alexandrof e Urysohn - 1923).
Um recobrimento para um conjunto é uma coleção de subconjuntos de tal que . Um subrecobrimento de é uma coleção que também é um recobrimento de , i.e. .
Diz-se que um espaço topológico é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer recobrimento por abertos de admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a Espaço Hausdorff é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.
Uma família de subconjuntos de um conjunto possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, p.i.f.) se, para qualquer finita, verificar . É passivo de verificação que, um espaço topológico é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.
Uma base para um espaço topológico é uma coleção de abertos de tal que, para qualquer aberto , existe tal que . Uma subbase para é uma coleção não-vazia de abertos desse espaço tal que
é uma base de . É um resultado devido a James Waddell Alexander II que um espaço topológico é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer recobrimento de por abertos de uma subbase desse espaço admitir um subrecobrimento finito.
Se é um espaço topológico, diz-se que um ponto é um ponto de acumulação total de um subconjunto se, dada qualquer vizinhança de , . É um resultado devido a Vietoris, Kuratowski, Sierpinski, Alexandroff e Urysohn que as seguintes afirmações são equivalentes
É um resultado devido a Kuratowski, Mrówka e Bourbaki que as seguintes afirmações, acerca do espaço , são equivalentes:
Em termos de convergência em um espaço Hausdorff , é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:
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