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Caminho autoevitante
De Wikipedia, a enciclopédia encyclopedia
Em matemática, um caminho autoevitante é uma sequência de movimentos em um retículo que não visita o mesmo ponto mais de uma vez. Este é um caso especial da noção de caminho da teoria dos grafos. Um polígono autoevitante é um caminho autoevitante fechado em um retículo. O termo caminho autoevitante foi introduzido pelo químico Paul Flory,[1] a fim de modelar o comportamento real de entidades de configuração em cadeia, tais como solventes e polímeros, cujos volumes físicos proíbem múltiplas ocupações do mesmo ponto espacial. Muito pouco é conhecido rigorosamente a respeito dos caminhos auto-evitantes a partir de uma perspectiva matemática, apesar de que físicos terem provido numerosas conjecturas que são acreditadas serem verdade e fortemente apoiadas por simulações matemáticas, e que existam diversas conjecturas que foram obtidas por meio de simulações computacionais.
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Em física computacional um caminho autoevitante é um caminho em cadeia em ou
com um certo número de nós, tipicamente um passo de tamanho fixo e com uma propriedade imperativa de que ele não cruza a si mesmo ou outro caminho. Um sistema de caminhos autoevitantes satisfaz a chamada condição do volume excluído. Em dimensões mais altas, acredita-se que um caminho autoevitante deve se comportar de modo bastante próximo de um passeio aleatório. Caminhos autoevitantes e polígonos autoevitantes ocupam um papel central em modelagem topológica e teoria dos nós no comportamento de moléculas em forma de filamentos e loops, como proteínas. Caminhos autoevitantes são fractais.[2][3] Por exemplo, em
a dimensão fractal é
, para
é próxima a
enquanto para
, a dimensão fractal é
. A dimensão é chamada dimensão crítica superior quando acima dela o volume excluído é insignificante. Um caminho autoevitante que não satisfaz a condição de volume excluído foi recentemente estudado para modelar superfícies geométricas explícitas resultante da expansão do caminho autoevitante.[4]
As propriedades dos caminhos autoevitantes não podem ser calculadas analiticamente, então simulações numéricas são empregadas. O algoritmo de pivô é um método comum para simulações de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) para medidas uniformes em caminhos autoevitantes de n passos. O algoritmo de pivô trabalha pegando um caminho autoevitante e aleatoriamente escolhendo um ponto desse caminho, e então aplicando uma operação simétrica (rotações e reflexões) no caminho depois do enésimo passo para criar um novo caminho. Calcular o número de caminhos autoevitantes em cada rede é um problema computacional comum. Não existe nenhuma fórmula conhecida para determinar o número de caminhos autoevitantes, embora existam métodos rigorosos para a aproximação.[5][6] Conjectura-se que achar o número de caminhos dessa espécie seja um problema NP-difícil. Para caminhos autoevitantes, do fim de uma diagonal a outra, com apenas movimentos em posição positiva, existem exatamente caminhos para um retículo retangular m × n.