Batimentos

Quando duas ondas sonoras, com frequências diferentes, mas muito próximas, chegam aos nossos ouvidos simultaneamente, percebemos uma variação na intensidade do som resultante; ela aumenta e diminui alternadamente, produzindo um fenômeno chamado batimento. Esse batimento é resultante da interferência construtiva e destrutiva das duas ondas quando ficam em fase ou em oposição de fase. Se as duas frequências forem ficando próximas, o batimento ficará gradualmente mais lento e desaparecerá quando elas forem idênticas (uníssono).^[1][2] Os batimentos entre dois tons podem ser percebidos pelo ouvido humano até uma frequência de 15Hz. Quando as frequências são superiores a 15Hz os batimentos individuais não podem ser distinguidos.^[1][2]

Batimento:A onda X é a combinação das ondas X1 e X2.

Batimento exemplo 3d.

Superposição de duas ondas de mesma direção

Os resultados da experimentação científica sugerem que o cérebro determina a altura de um som complexo procurando um padrão harmônico entre os seus componentes. O ouvido parece conseguir calcular as razões entre as frequências com grande precisão. Se a diferença entre as séries harmônicas de dois sons é demasiadamente grande, os vários componentes não se fundem e são ouvidos separadamente. Se a separação entre duas notas é reduzida a um tom (por exemplo, um Dó e um Ré), ouve-se uma dissonância - um som áspero. ^[3]

Equação do batimento

O número de batimentos por segundo é dado pela diferença entre as frequências das duas ondas componentes:^[4]

${\displaystyle f_{bat}=|f_{1}-f_{2}|\,}$

Dedução da equação do batimento

A equação do batimento pode parecer trivial, porém sua dedução não é tão simples.^[1] Suponhamos que as variações de pressão em certo local, produzidas por duas ondas sonoras de mesma amplitude s_m, sejam

${\displaystyle s_{1}=s_{m}\cos w_{1}t}$ e

${\displaystyle s_{2}=s_{m}\cos \omega _{2}t}$

Onde ω₁ > ω₂. De acordo com o princípio da superposição, a variação de pressão total é dada por

${\displaystyle s=s_{1}+s_{2}=s_{m}\left(\cos \omega _{1}t+\cos \omega _{2}t\right)}$

Usando a identidade trigonométrica

${\displaystyle \cos a+\cos b=2\cos \left[{1 \over {2}}(a-b)\right]\cos \left[{1 \over {2}}(a+b)\right]}$

Podemos escrever a variação de pressão total na forma

${\displaystyle s=2s_{m}\cos \left[{1 \over {2}}(\omega _{1}-\omega _{2})t\right]\cos \left[{1 \over {2}}(\omega _{1}+\omega _{2})t\right]}$

Definindo

${\displaystyle w'={1 \over {2}}(\omega _{1}-\omega _{2})}$ e

${\displaystyle w={1 \over {2}}(\omega _{1}+\omega _{2})}$

Podemos reescrever a equação na forma

${\displaystyle s(t)=[2s_{m}\cos \omega 't]\cos \omega t}$

Vamos supor que as frequências angulares ω₁ > ω₂ das ondas que se combinam são quase iguais. Nesse caso podemos considerar a equação acima como uma função cosseno cuja frequência angular é ω e cuja amplitude é o valor absoluto do fator entre colchetes.

Um máximo de amplitude ocorre sempre que cos ω't é igual a 1 ou -1, o que acontece duas vezes em cada repetição da função cosseno. Como cos ω't tem frequência angular ω', a frequência angular ω_bat com qual ocorre o batimento é ω_bat = 2ω'. Assim podemos escrever

${\displaystyle w_{bat}=2w'=(2)({1 \over 2})(w_{1}-w_{2})=w_{1}-w_{2}}$

Como ${\displaystyle w=2\scriptstyle {\pi }f}$ , esta equação também pode ser escrita na forma

${\displaystyle f_{bat}=|f_{1}-f_{2}|\,}$

Aplicação

Diapasão: aparelho usado para afinar instrumentos. Com dois diapasões é possível exemplificar o batimento.

Normalmente os músicos prestam atenção nos batimentos enquanto afinam seus instrumentos. Enquanto escutam algum batimento, é porque o instrumento está desafinado, logo alteram a afinação, até que a frequência de batimento diminua e o batimento desapareça, deixando assim o instrumento afinado.

Para afinar seu instrumento, um músico pode recorrer a um diapasão, um aparelho metálico, que emite uma frequência (normalmente Lá - 440Hz). Enquanto o diapasão emite a frequência, o músico toca a corda de seu instrumento simultaneamente, ajustando a tensão da corda ele tenta aproximar as duas frequências, fazendo com que o batimento seja imperceptível. ^[5][2]

Exemplos em reprodutores de áudio

Nos primeiros dois segundos: 110Hz A, nos dois segundos seguintes 104Hz G# e nos últimos dois segundos a soma das duas ondas.

Exemplo de batimento entre ondas de 440Hz e 439Hz

Referências

1. Halliday, David; Jearl Walker; Robert Resnick (2009). Fundamentos de Física 2 - Gravitação, Ondas, Termodinâmica. 2 8 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 978-85-216-1606-1 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
2. Halliday, David; Jearl Walker; Robert Resnick (2007). Fundamentos de Física 2 - Gravitação, Ondas, Termodinâmica. 2 5 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 978-85-216-1368-8 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
3. «Interference beats and Tartini tones». School of Physics - UNSW
4. Tipler, Paul A; Gene Mosca (2006). Física para cientistas e engenheiros 5 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 85-216-1462-4 A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
5. «Batimentos e ressonância de diapasões analisados usando um osciloscópio» (PDF). Adenilson José Chiquito, Antonio Carlos Alonge Ramos - Departamento de Física, Universidade Federal de São Carlos