Álgebra de Banach

Em análise funcional, uma álgebra de Banach A é um espaço de Banach e uma álgebra associativa sobre um corpo (normalmente ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$), em que o produto ${\displaystyle *}$ é associativo e a norma satisfaz:

• ${\displaystyle ||u*v||\leq ||u||||v||}$, para todo par ${\displaystyle u,v\in A}$

Essa propriedade garante que a operação multiplicação é contínua.

• Se existe uma identidade multiplicativa ${\displaystyle I}$, chamamos ${\displaystyle I}$ de unidade
• Uma álgebra de Banach é dita unital se se tiver identidade multiplicativa ${\displaystyle I}$ de modo que ${\displaystyle ||I||=1}$. Podemos provar se a álgebra de Banach possui unidade, há uma norma equivalente onde ela será unital
• Dizemos que a álgebra é comutativa se a operação ${\displaystyle *}$ for comutativa
• Se ${\displaystyle B\subset A}$ e ${\displaystyle B}$ é álgebra com a mesma multiplicação de ${\displaystyle A}$, então dizemos que ${\displaystyle B}$ é subálgebra de ${\displaystyle A}$
• Toda álgebra de Banach é isométrica a uma subálgebra de uma álgebra unital de Banach. Isto garante que toda álgebra de Banach pode ser vista como subálgebra de uma que seja Banach e unital

Por causa do ultimo item acima é comum presumir que sempre tratamos de uma álgebra de Banach unital. Dizemos que um elemento ${\displaystyle x\in A}$ é inversível se existe ${\displaystyle y\in A}$ de modo que ${\displaystyle x*y=y*x=I}$. Uma ${\displaystyle C}$*-álgebra é uma álgebra de Banach munida de uma involução satisfazendo propriedades da adjunta.

Alguns fatos

• Toda ${\displaystyle C^{\star }}$-álgebra é uma álgebra de Banach, por definição.
• Em uma álgebra de Banach, o espectro de um elemento é um subconjunto fechado de ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• A soma direta de álgebras de Banach ainda é uma álgebra de Banach.
• Toda álgebra de Banach sobre os reais que é também uma álgebra com divisão é isomorfa ou aos reais ou aos complexos ou aos quatérnios. Isso implica que a única álgebra de Banach sobre os complexos que é também álgebra com divisão é os próprio ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (Teorema de Gelfand–Mazur) ^[1]
• Numa álgebra de Banach unital, o conjunto dos elementos invertíveis forma um conjunto aberto (na topologia do espaço topológico induzido pela norma)
• Numa álgebra de Banach unital sobre os reais ou sobre os complexos, se ${\displaystyle x}$ é elemento da álgebra de modo que ${\displaystyle ||x-I||<1}$, então ${\displaystyle x}$ é inversível^[1]

Alguns exemplos

• O conjunto dos reais (ou dos complexos) forma uma álgebra de Banach com a norma dada pelo módulo
• O espaço de n-uplas reais ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (ou complexas ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) é uma ágebra de Banach com a norma ${\displaystyle ||(x_{1},...,x_{n})||=max\{|x_{i}|:i=1,2,3,...,n\}}$ e o produto termo a termo
• Os quatérnios são uma álgebra de Banach sobre os reais, com a norma sendo o valor absoluto
• Os quatérnios não formam uma álgebra de Banach sobre os complexos

Teoria espectral

Álgebras unitais sobre os complexos dão um contexto base para a teoria espectral. Dado ${\displaystyle x\in A}$ elemento da álgebra de Banach unital sobre os complexos, definimos o espectro de ${\displaystyle x}$ como ${\displaystyle \sigma (x)=\{\lambda \in \mathbb {C} :x-\lambda I~~{\text{não é invertivel}}\}}$ . O espectro de um elemento, nestas condições, é compacto e não vazio sempre e satisfaz a formula do raio espectral:

${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim \limits _{n\to \infty }||x^{n}||^{1/n}}$

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Referências

1. Exel, Ruy. «Uma introdução às C*-álgebras» (PDF)