Strop
From Wikipedia, the free encyclopedia
Jë strop a son n'esempi dë strutura algébrica. As trata d'un-a dle nossion pì amportante ant la matemàtica, dzortut ant l'àlgebra, e a l'é motobin rica d'aplicassion, për esempi ant la fìsica e ant la chìmica. Ël nòm a ven dal fransèis groupe: a l'é 'l nòm dovrà da Galois, che dël 1832 a l'é ancorzusse dl'amportansa dë studié ëd fasson sistemàtica la strutura general dle përmutassion dle rèis dj'equassion polinomiaj. Na definission formal astrata dë strop a l'é stàita smonùa dël 1854 da Arthur Cayley; na codificassion dla teorìa djë strop as treuva ant ël Traité des substitutions ëd Camille Jordan dël 1870. DefinissionLa definission dë strop astrat a ven da E.H. Moore.
S'a-i é gnun privo ëd confondse, soens ël sign dl'operassion a l'é sotantendù e a së scriv mach ab pitòst che . Dj'element a,b a son ciamà përmutàbij cand ab=ba. Se an në strop G a-i val la proprietà che për tuti j', G as dis strop comutativ o abelian. Soens jë strop abelian a së scrivo an notassion aditiva (e a son ciamà mòdoj). Në strop a peul avèj na quantità finìa o infinìa d'element. Ël nùmer d'element ëd në strop finì a l'é ciamà órdin ëd lë strop. Esempi, , , ,, , a son dë strop abelian. a l'é në strop, nen abelian si n>1. Lë strop ëd përmutassion su n'ansem con pì che n'element a l'é nen abelian. N'esempi amportant dë strop a l'é l'ansem dle simetrìe ëd na figura geométrica, con l'operassion ëd composission. D'àutri esempi anteressant dë strop as ancontro an ëstudiand la strutura dij cristaj.
Ant un cristal, j'àtom ch'a lo formo a son piassà an configurassion regolar, le reitin-e cristalin-e, ch'as arpeto ëd fasson periòdica ant lë spassi: le simetrìe ëd na reitin-a cristalin-a a formo në strop, lë strop cristalogràfich ëd la reitin-a. Prime conseguense dla definissionDa la definission dë strop a-i ven-o vàire proprietà elementar. Proprieta. An në strop minca element a l'ha mach n'anvers. J'assiòma ëd definission ëd në strop smonù dëdzora a son nen ij pì conòmich possìbij. Proprietà. Na strutura algébrica G dotà ëd n'operassion assossiativa a l'é në strop s'a l'ha n'element nèutr u a snistra e minca a l'ha n'anvers a snistra a' rëspet a u.
L'istess për le proprietà a drita. Proprietà. . Ant jë strop a valo le proprietà dë scancelassion. Proprietà. .
L'istess për la scancelassion a drita. An dzorpì, an në strop j'equassion linear ax=b e ya=b a l'han tavòta n'ùnica solussion: e . Da sòn a-i ven la proprietà sì da press. Proprietà. Fissà , le traslassion snistra e drita a son ëd bijession . PotensePijà n'element a an në strop G as peulo definisse soe potense antreghe pr'andussion:
A-i na ven antlora, sempe për andussion, che
Donca, doe potense d'un midem element a son sempe përmutàbij: . MorfismUn morfism o omomorfism antra jë strop G e G' a l'é na fonsion tal che . Proprietà. Si a l'é 'n morfism, . Proprietà. Si a l'é n' epimorfism e G a l'é abelian, antlora ëdcò G' a-l l'é. Automorfism anteriorFissoma n'element a ant lë strop G; consideroma la fonsion definìa da .
As trata ëd n'automorfism ëd G, dit automorfism anterior generà da l'element a.
J'automorfism anterior ëd në strop G a formo a soa vira në strop, ciamà lë strop anterior ëd G. Sot-ëstropSi e H a l'é ancor në strop rëspet a la restrission dl'operassion ëd G, antlora H as dis sot-ëstrop ëd G. Për esempi, a l'é 'n sot-ëstrop ëd . Për as definiss ëdcò ël sot-ëstrop ëd G generà da A, visadì ël pì cit sot-ëstrop ëd G ch'a conten A 'me sot-ansem. Si a l'é 'n morfism, a l'é 'n sot-ëstrop ëd G, ciamà la nos ëd , e a l'é 'n sot-ëstrop ëd G'. Pì an general, si H a l'é 'n sot-ëstrop ëd G e H' a l'é un sot-ëstrop ëd G', antlora a l'é un sot-ëstrop ëd G' e a l'é un sot-ëstrop ëd G. Sot-ëstrop normajSi H a l'é un sot-ëstrop ëd G con la proprietà che , antlora H as dis sot-ëstrop normal ëd G. Për esempi, tuti ij sot-ëstrop ëd në strop abelian a son normaj. Ij sot-ëstrop normaj ëd G a son tuti e soj coj sot-ëstrop ch'a son nos ëd chèich morfism ch'a l'han G 'me domini. Proprietà. Si H e K a son sot-ëstrop ëd G e H a l'é normal, antlora ël sot-ëstrop generà da a l'é HK. Proprietà. Si H a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G e a l'é n'epimorfism, antlora f(H) a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G'. Proprietà. Si a l'é 'n morfism e H' a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G', a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G. Strop sempiSi G a l'ha mach e G midem 'me sot-ëstrop normaj, antlora G as dis sempi. Strop cossientSi H a l'é 'n sot-ëstrop normal ëd G, as peul definisse lë strop cossient G/H, dont j'element a son ij lateraj gH, për , e l'operassion a l'é definìa 'me fHgH=fgH. La projession canonica a l'é n'epimorfism . N'esempi dë strop cossient a l'é l'ansem dle class ëd resta mòdol n: . As trata ëd në strop sìclich. An efet minca strop sìclich infinì a l'é isomòrfich a e minca strop sìclich finì a l'é isomòrfich a chèich . Proprietà. Si H e K a son sot-ëstrop normaj ëd G e , antlora . Proprietà. Si H e K a son sot-ëstrop ëd G, con K normal, a ven che Teorema fondamental djë strop. Si a l'é 'n morfism dë strop, . Strop arzolùbijNë strop G as ciama arzolùbil s'a-i son dij sot-ëstrop , anté che minca a l'é normal an e a l'é abelian. |