Układy równoważne

Układy równoważne – układy wektorów ${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p},}$ ${\displaystyle (w_{\iota })_{\iota =1}^{q},}$ takie, że układ ${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}}$ wyraża się liniowo przez układ ${\displaystyle (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}}$ oraz układ ${\displaystyle (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}}$ wyraża się liniowo przez układ ${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}}$^[1]. Równoważność układów symbolicznie zapisujemy jako relację:

${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}\sim (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}}$^[1].

Relacja równoważności układów określona w zbiorze wszystkich skończonych układów wektorów przestrzeni wektorowej ${\displaystyle \mathbb {V} }$ jest relacją równoważnościową^[2].

Dla przestrzeni generowanych przez układ wektorów prawdziwe jest następujące twierdzenie:

${\displaystyle {\mbox{span}}((v_{\iota })_{\iota =1}^{p})={\mbox{span}}((w_{\iota })_{\iota =1}^{q})\Longleftrightarrow (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}\sim (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}}$^[3].

Przypisy

1. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 89, Definicja 6.5.
2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 89, Wniosek 6.2.
3. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 89, Wniosek 6.3.