Relacja liniowego wyrażania się układu przez układ

Relacja liniowego wyrażania się układu ${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}}$ przez układ ${\displaystyle (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}}$ – pojęcie algebry liniowej, relacja, symbolicznie oznaczana jako ${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}\prec (w_{\iota })_{\iota =1}^{q},}$ zdefiniowana następująco:

Układ wektorów ${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}}$ wyraża się liniowo przez układ ${\displaystyle (w_{\iota })_{\iota =1}^{q},}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor układu ${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}}$ jest generowany przez kombinację liniową układu wektorów ${\displaystyle (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}}$^[1], co można symbolicznie zapisać:

${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}\prec (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}\Longleftrightarrow \forall _{1\geqslant \iota \geqslant p}\ v_{\iota }\in \mathbb {span} ((w_{\iota })_{\iota =1}^{q})}$^[1].

Symbol ${\displaystyle \prec }$ czytamy jako: „wyraża się liniowo przez”^[2].

Relacja ${\displaystyle \prec }$ określona w zbiorze wszystkich skończonych układów wektorów przestrzeni wektorowej ${\displaystyle \mathbb {V} }$^[2], jest relacją zwrotną i tranzytywna^[3].

Prawdziwe jest następujące twierdzenie:

${\displaystyle (v_{\iota })_{\iota =1}^{p}\prec (w_{\iota })_{\iota =1}^{q}\Longleftrightarrow {\mbox{span}}((v_{\iota })_{\iota =1}^{p})<{\mbox{span}}((w_{\iota })_{\iota =1}^{q})}$^[2],

gdzie ${\displaystyle <}$ czytamy jako „jest podprzestrzenią przestrzeni”.

Pojęcia relacji liniowego wyrażania się układu przez układ używa się m.in. do definiowania układów równoważnych^[4].

Przypisy

1. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 88, Definicja 6.4.
2. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 89.
3. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 89, Twierdzenie 6.8.
4. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 89, Definicja 6.5.