Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga

Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga – odpowiednik twierdzenia Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a dla algebr Heytinga. Twierdzenie to mówi, że każda algebra Heytinga jest izomorficzna z pewną podalgebrą topologicznej algebry Heytinga swojej przestrzeni Stone’a.

Twierdzenie

Definicja ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ oraz przestrzeni Stone’a dla algebry Heytinga ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Niech ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ będzie algebrą Heytinga z uniwersum ${\displaystyle H.}$ Algebry Heytinga są wzbogaceniem krat rozdzielnych, a więc na mocy twierdzenia o reprezentacji dla krat rozdzielnych odwzorowanie ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}\colon H\to \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}{\big )}}$ dane wzorem

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a):=\{F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}:\,a\in F\}}$

jest izomorfizmem krat.

W szczególności jest ono także izomorfizmem krat ograniczonych, ponieważ

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(\bot )=\varnothing ,\,{\boldsymbol {\Phi }}(\top )={\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.}$

Niech teraz ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ będzie najmniejszą topologią na ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}},}$ w której wartościami odwzorowania ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ są zbiory otwarte. Okazuje się, że ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(H)}$ jest bazą tej przestrzeni.

Topologię tę nazywamy topologią Stone’a. Przestrzeń ${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}},{\mathcal {T}}\rangle }$ nazywamy przestrzenią Stone’a algebry ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ jest homomorfizmem algebr Heytinga ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ i algebry topologicznej ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathcal {T}}.}$

Należy jeszcze pokazać, że ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ zachowuje działanie ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathcal {H}},}$ czyli że

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).}$

Skoro ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ jest izomorfizmem krat, to

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)={\boldsymbol {\Phi }}{\big (}a\sqcap (a\to b){\big )}\leqslant {\boldsymbol {\Phi }}(b),}$ skąd ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).}$

Dla dowodu inkluzji przeciwnej, niech ${\displaystyle x\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).}$ Wówczas, skoro ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {H}}|}$ jest bazą topologii Stone’a, istnieje ${\displaystyle c\in |{\mathcal {H}}|,}$ dla którego

${\displaystyle x\in {\boldsymbol {\Phi }}(c)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b)\subseteq \smallsetminus {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b),}$ skąd ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(c)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(a)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(b),}$ czyli ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(c\sqcap a)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(b).}$

Ponieważ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}}$ jest izomorfizmem, znaczy to, że ${\displaystyle c\sqcap a\leqslant b,}$ czyli, że ${\displaystyle c\leqslant a\to b,}$ a stąd ${\displaystyle x\in {\boldsymbol {\Phi }}(c)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b),}$ co było do pokazania.

Wymiar i topologia przestrzeni Stone’a

Załóżmy teraz, że ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest wzbogaceniem algebry Boole’a.

Wówczas:

1. Każdy filtr pierwszy jest ultrafiltrem.
2. Jeśli ${\displaystyle a\not \in F,}$ to ${\displaystyle \neg a\in F,}$ dla ${\displaystyle F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.}$

Stąd wynika, po pierwsze, że przestrzeń Stone’a jest zerowymiarowa, bo jej baza ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(H),}$ składa się z elementów otwarto-domkniętych, co wynika stąd, że ${\displaystyle \smallsetminus {\boldsymbol {\Phi }}(a)={\boldsymbol {\Phi }}(\neg a),\;a\in H,.}$

Jeśli teraz ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}}$ są różne, to istnieją ${\displaystyle f\in F\setminus G}$ i ${\displaystyle g\in G\setminus F.}$ Wówczas też jednak ${\displaystyle \neg f\in G}$ i ${\displaystyle \neg g\in F,}$ skąd ${\displaystyle f\sqcap \neg g\in F}$ i ${\displaystyle g\sqcap \neg f\in G.}$ Oczywiście ${\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(f\sqcap \neg g)}$ oraz ${\displaystyle G\in {\boldsymbol {\Phi }}(g\sqcap \neg f),}$ zaś zbiory ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(f\sqcap \neg g)}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(g\sqcap \neg f)}$ są rozłączne. W ten sposób pokazaliśmy, że przestrzeń Stone’a jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa.

Zwartość przestrzeni Stone’a

Załóżmy teraz, że ${\displaystyle (\star )\;{\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}=\bigcup \nolimits _{j\in J}{\boldsymbol {\Phi }}(a_{j})}$ dla pewnej rodziny ${\displaystyle \{a_{j}\colon j\in J\}}$ elementów algebry ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$ Niech dalej, dla ${\displaystyle F\subseteq |{\mathcal {H}}|,}$ funkcja ${\displaystyle \chi _{F}\colon |{\mathcal {H}}|\to \{0,1\}}$ będzie funkcją charakterystyczną zbioru ${\displaystyle F.}$ Wówczas

${\displaystyle F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}\;\Leftrightarrow \;\chi _{F}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2}),}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$ jest dwuelementową algebrą Boole’a, oraz

${\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\;\Leftrightarrow \;a\in F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}\;\Leftrightarrow \;(\chi _{F}(a)=1)\wedge (F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}})\;\Leftrightarrow \;\chi _{F}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a}^{-1}\,{\grave {}}\,{\grave {}}\{1\},\;a\in |{\mathcal {H}}|,}$

gdzie ${\displaystyle \pi _{a}\colon {}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\}\to \{0,1\}}$ jest funkcją rzutu na ${\displaystyle a}$-tą ${\displaystyle (a\in |{\mathcal {H}}|)}$ współrzędną potęgi ${\displaystyle {}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\}}$ przestrzeni dyskretnej ${\displaystyle \{0,1\}.}$ Tym samym, warunek ${\displaystyle (\star )}$ równoważny jest warunkowi ${\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})=\bigcup \nolimits _{j\in J}{\big [}\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a_{j}}^{-1}(\{1\}_{\big ]}.}$

Ponieważ produkt ${\displaystyle {}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\}}$ zwartych przestrzeni Hausdorffa, na mocy BPI, jest przestrzenią zwartą, a ${\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})}$ jest domknięty w ${\displaystyle {}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\},}$ zaś zbiory ${\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a_{j}}^{-1}(\{1\})}$ są otwarte w topologii indukowanej na ${\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2}),}$ istnieje skończone ${\displaystyle J_{0}\subseteq J,}$ dla którego ${\displaystyle \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})=\bigcup \nolimits _{j\in J_{0}}{\big [}\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a}^{-1}\,(\{1\}){\big ]},}$ co oznacza, że ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}=\bigcup \nolimits _{j\in J_{0}}{\boldsymbol {\Phi }}(a_{j}).}$

Pokazaliśmy zatem, że z dowolnego pokrycia bazowego przestrzeni Stone’a algebry Boole’a można wybrać podpokrycie skończone, a to oznacza, że jest ona zwarta.

Wniosek

Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z podalgebrą algebry zbiorów otwarto-domkniętych pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Uwaga

Zgodność odwzorowania Stone’a z działaniem dopełnienia kraty wynika ze związków

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(\bot )=\emptyset \quad {\mbox{i}}\quad {\boldsymbol {\Phi }}(\top )={\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.}$