Twierdzenie Krejna-Krasnoselskiego-Milmana

Twierdzenie Krejna–Krasnoselskiego–Milmana – twierdzenie będące wersją twierdzenia o zbiorze wypukłym dla skończenie wymiarowych przestrzeni Banacha, udowodnione w 1948 roku przez Krejna, Krasnoselskiego i Milmana^[1]. Bywa stosowane w teorii perturbacji nieograniczonych operatorów liniowych.

Twierdzenie

Niech E będzie skończenie wymiarową przestrzenią Banacha oraz niech M i N będą jej podprzestrzeniami liniowymi. Jeżeli wymiar M jest większy od wymiaru N, to istnieje taki wektor x₀ ∈ M, że

inf { || x – x₀ ||: x ∈ N } = ||x₀|| > 0.

Dowód

Udowodnimy twierdzenie najpierw pod dodatkowym założeniem, że norma przestrzeni E jest ściśle wypukła, tj. ||x+y|| < ||x|| + ||y||, gdy tylko x, y są liniowo niezależne. Wówczas dla każdego x ∈ E istnieje dokładnie jeden taki punkt y = f(x) w N, że

inf { || x – z ||: z ∈ N } = || x – f(x) ||.

Odwzorowanie x → f(x) jest ciągłe. Ponadto f(–x) = –f(x) dla wszelkich x ∈ E. Stosując twierdzenie Borsuka-Ulama do funkcji

f|_SM: S_M → N

wnioskujemy, że istnieje taki punkt x₀ ∈ M, że f(x₀) = 0. Jest to zatem szukany punkt.

Gdy E nie jest ściśle wypukła, ustalmy bazę {φ₁, ..., φ_n} w E*. Wówczas dla każdego m

${\displaystyle \|x\|_{m}={\sqrt {\|x\|^{2}+{\tfrac {1}{m}}[|\langle \varphi _{1},x\rangle |^{2}+\ldots +|\langle \varphi _{n},x\rangle |^{2}]}}}$

jest ściśle wypukłą normą w E. Oznacza to, że dla każdego m istnieje takie x_m ∈ M, że

inf { || x – z ||_m: z ∈ N } = || x_m ||_m = 1.

Ponieważ ||x_m|| ≤ ||x_m|| _m = 1, ciąg (x_m) ma podciąg zbieżny (w oryginalnej normie na E). Granica tego podciągu jest szukanym punktem x₀.