Twierdzenie Koebego-Bieberbacha

Twierdzenie Koebego-Bieberbacha (czasami nazywane też twierdzeniem Koebego 1/4) – twierdzenie analizy zespolonej, które zostało udowodnione przez Paula Koebe’go w 1907^[1] oraz doprecyzowane przez Ludwiga Bieberbacha w pracy z roku 1916^[2] (Bieberbach podał dokładnie ograniczenie górne stałej M w wypowiedzi twierdzenia poniżej).

Twierdzenie

Jeśli ${\displaystyle f}$ jest różnowartościową funkcją analityczną na kole jednostkowym płaszczyzny zespolonej, to obraz funkcji ${\displaystyle f}$ zawiera koło o środku w punkcie ${\displaystyle f(0)}$ i promieniu równym ${\displaystyle |f'(0)|\cdot M,}$ gdzie ${\displaystyle M={\tfrac {1}{4}}.}$ Oszacowania tego nie można poprawić, co można wykazać na przykładzie funkcji

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}.}$

Zobacz też

• hipoteza Bieberbacha

Przypisy

1. P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurve, Nachr. K. Ges. Wissenschaft. Göttingen Math. Phys. Kl., 2 (1907) s. 191–210.
2. L. Bieberbach, Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys-Math. Kl. (1916) s. 940–955.