W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna w 1545 r.
W pewnych przypadkach równanie
| | |
|
(1) |
można rozwiązać prostszymi metodami.
Równanie dwukwadratowe
Jeśli czyli gdy (1) jest postaci
| | |
|
(1a) |
to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić
Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.
Równanie zwrotne
Jeśli oraz czyli gdy (1) jest postaci
| | |
|
(1b) |
to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez i otrzymując
Podstawiając otrzymuje się i równanie kwadratowe:
z którego oblicza się a potem wyznacza się
Równanie (1) jest redukowalne do postaci
| | |
|
(2) |
Wyjściowe równanie należy podzielić obustronnie przez otrzymując:
| | |
|
(3) |
Następnie stosuje się podstawienie prowadzące do:
| |
|
|
(4) |
Po wymnożeniu otrzymuje się:
-
| |
|
|
(5) |
a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:
| |
|
|
(6) |
Jeśli oznaczy się jako
to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:
| | |
|
(2) |
Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu
Równanie zredukowane można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:
Metoda Descartes’a-Eulera
Metoda Descartes’a-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci
| | |
|
(2) |
dla (równanie nie jest dwukwadratowe).
Znajdowanie jednego pierwiastka
Wprowadza się trzy zmienne spełniające równanie
Wówczas
a stąd
Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na dane przez powyższe równania, otrzymuje się:
Każda trójka liczb spełniająca równanie (7) daje rozwiązanie równania (2). Jeśli liczby spełniają równania
| | |
|
(8) |
| | |
|
(9) |
| | |
|
(10) |
to spełniają one również równanie (7). Jeśli równanie (8) przekształci się do
| | |
|
(11) |
to układ równań (9)-(11) jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia, znajduje się pierwiastki „równania rozwiązującego”:
| | |
|
(12) |
Niech
- będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby
- będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby a
- będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby przy którym będzie spełnione równanie (8) powyżej (ponieważ to i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby spełniają równania (8)-(10), więc również równanie (7). Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2):
Znajdowanie wszystkich pierwiastków
„Równanie rozwiązujące”
| | |
|
(12) |
ma pierwiastki
Następnie wyznacza się liczby tak że oraz
Wówczas liczby spełniają równania (8)-(10), a zatem również równanie (7). Otrzymuje się więc
oraz
a stąd
| |
|
|
(13) |
Skoro
to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz więc otrzymuje się równanie:
więc liczby
-
-
spełniają równanie (2). Są to wszystkie pierwiastki tego równania.
Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.
- Dowód
- Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się
gdzie nadal są pierwiastkami równania (12).
Metoda Ferrariego
Równanie (2) przekształca się do
a następnie
| | |
|
(14) |
Wprowadzamy nową niewiadomą Dodając do wyrażenia w nawiasie równania (14) po lewej stronie można zapisać
| |
|
|
(15) |
czyli
| | |
|
(16) |
Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę tak aby wyróżnik wielomianu po prawej stronie był zerowy:
| | |
|
(17) |
Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem
| | |
|
(18) |
które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie
jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:
Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):