Ten artykuł od 2010-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji.
Francuski matematyk Henri Brocard (1845–1922), sformułował następujące zdanie[1]:
W trójkącie o bokach znajduje się dokładnie jeden taki punkt że proste z bokami odpowiednio tworzą równe kąty tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości[1]:
Punkt nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta
Kąt jest kątem Brocarda trójkąta
Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta punkt dla którego odcinki według tej kolejności, z bokami tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:
Temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt jest równy kątowi
Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta !
W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie
Przykład:
Obieramy trzy niewspółliniowe punkty
Kreślimy prostą przez punkty i prostą, a przez punkty i oraz prostą przez punkty i
Kreślimy symetralną boku i oznaczamy ją przez
Kreślimy prostą prostopadłą do prostej, a przez punkt
Punkt przecięcia się symetralnej i prostej oznaczamy
Z punktu kreślimy okrąg o promieniu Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt i jest styczny do prostej
Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty i styczny do prostej
a następnie okrąg przez punkty i styczny do prostej
Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt – pierwszy punkt Brocarda trójkąta
Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.
Oznaczmy przez pole powierzchni trójkąta Wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:
Dla każdego trójkąta:
Oba punkty Brocarda trójkąta są ze sobą sprzężone izogonalnie.
Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.
Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.