Problem Apoloniusza

Problem Apoloniusza – problem matematyczny polegający na stworzeniu okręgu stycznego do trzech innych okręgów^[1] (Rys. 1). Apoloniusz z Pergi przedstawił i rozwiązał ten problem w swojej pracy Styczności (stgr. Ἐπαφαί, Epaphaí); praca ta zaginęła, jednak raport na temat jej wyników, który wykonał Pappus z Aleksandrii, przetrwał. Dla dowolnych trzech okręgów można stworzyć 8 różnych okręgów, które będą do nich styczne (Rys. 2).

Rys. 1. Przykładowe rozwiązanie problemu Apoloniusza

Rys. 2. 8 rozwiązań problemu

Rozwiązania problemu

Istnieje wiele różnych metod rozwiązania tego problemu:

• w XVI w. Adriaan van Roomen rozwiązał ten problem, korzystając z przecinających się hiperboli, jednak ta metoda nie korzysta jedynie z konstrukcji klasycznych;
• François Viète znalazł takie rozwiązanie problemu, korzystając z ograniczania możliwości: każdy z trzech okręgów może być zmniejszony do 0 stopni (punktu) lub powiększony do nieskończonej ilości stopni (prostej);
• skomplikowane rozwiązania zaproponowali także René Descartes i księżniczka czeska Elżbieta^[2];
• później zdefiniowano metody algebraiczne, które umożliwiły zdefiniowanie problemu za pomocą równań algebraicznych.

Typy Problemu Apoloniusza

Ogólnie rzecz biorąc, Problem Apoloniusza można zdefiniować jako problem narysowania okręgu stycznego do trzech danych elementów. W konsekwencji daje to 10 różnych typów tegoż problemu, przedstawionych poniżej:

10 Typów Problemu Apoloniusza

Indeks	Kod	Elementy	Liczba rozwiązań	Przykład (rozwiązanie na różowo)
1	PPP	trzy punkty	1
2	LPP	jedna prosta i dwa punkty	2
3	LLP	dwie proste i jeden punkt	2
4	CPP	jeden okrąg i dwa punkty	2
5	LLL	trzy proste	4
6	CLP	jeden okrąg, jedna prosta i jeden punkt	4
7	CCP	dwa okręgi i jeden punkt	4
8	CLL	okrąg i dwie proste	8
9	CCL	dwa okręgi i prosta	8
10	CCC	trzy okręgi (klasyczny problem)	8