Obiekt (teoria kategorii)

Obiekt – w teorii kategorii nazwa elementu klasy, na której określona jest kategoria. Każda kategoria składa się z elementów dwóch klas nazywanych klasą obiektów i klasą morfizmów. Klasę obiektów kategorii ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ oznacza się przez ${\displaystyle \mathrm {Ob} {\mathfrak {A}}.}$ Każdemu obiektowi ${\displaystyle A}$ odpowiada jednoznaczny morfizm jednostkowy ${\displaystyle 1_{A},}$ taki że dla każdego morfizmu ${\displaystyle f\colon A\to B}$ o początku (dziedzinie) ${\displaystyle A}$ zachodzi równość^[1]:

${\displaystyle f\circ 1_{A}=f,}$

Zobacz też: inne znaczenia wyrazu „obiekt”.

a dla każdego morfizmu ${\displaystyle g\colon A\to B}$ o końcu (kodziedzinie) ${\displaystyle B}$ zachodzi

${\displaystyle 1_{B}\circ g=g,}$

przy czym różnym obiektom odpowiadają różne morfizmy jednostkowe.

Wyróżnia się specjalne rodzaje obiektów: obiekt początkowy, obiekt końcowy, obiekt zerowy, obiekty iniektywne.

Przykłady

• W kategorii Set wszystkich zbiorów obiektami są zbiory, a morfizmami są funkcje pomiędzy nimi.
• W kategorii Gr wszystkich grup obiektami są grupy, a morfizmami są homomorfizmy między grupami.
• W kategorii Ab obiektami są grupy abelowe, a morfizmami są homomorfizmy.
• W kategorii Vect_K obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem K, a morfizmami są odwzorowania K-liniowymi.
• W kategorii Metr obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są odwzorowania nierozszerzające.
• W kategorii Top obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe pomiędzy tymi przestrzeniami.

Przypisy

1. Советская энциклопедия, t. 3, s. 1148–1149.

Bibliografia

• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982. Brak numerów stron w książce

Literatura dodatkowa

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).