Niech
będzie przestrzenią z miarą oraz niech
będą wykładnikami sprzężonymi, tzn.
![{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d094b49fac63e404b53136da33af9c7c37e67f8)
Jeżeli
oraz
to
oraz
![{\displaystyle \|f\cdot g\|_{L_{1}(\Omega ,\mu )}\leqslant \|f\|_{L_{p}(\Omega ,\mu )}\cdot \|g\|_{L_{q}(\Omega ,\mu )}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4831929c793664b295624701519988a0339ff2dc)
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje
i
są liniowo zależne.
- Gdy
to nierówność Höldera znana jest pod nazwą nierówności Schwarza (lub Cauchy’ego-Schwarza, a w przypadku całkowym – Buniakowskiego-Schwarza)[1].
- W przestrzeni euklidesowej
(lub
) nierówność Höldera przyjmuje postać:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leqslant \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x,y\in \mathbb {C} ^{n}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baaec4f30131e0558703108d58dcaef96cc24ec6)
- Dla elementów
![{\displaystyle y\in \ell _{q}{:}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b538cf3e2c01cadd42a9da841fb35e8d79e7cadb)
![{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leqslant \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q}\;\;\;(x\in \ell _{p},y\in \ell _{q}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a84613ba2edaffec670f7d679d78fb6849bc2f5)
- Niech
będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność
![{\displaystyle \left|\int _{\Omega }f(x)g(x)\,\mu ({\mbox{d}}x)\right|\leqslant \int _{\Omega }{\bigg |}f(x)g(x){\bigg |}\,\mu ({\mbox{d}}x)\leqslant \left(\int _{\Omega }\left|f(x)\right|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/p}\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,\mu ({\mbox{d}}x)\right)^{1/q}\;\;\;(f\in L_{p}(\Omega ),g\in L_{q}(\Omega ))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d08688422ca33974034e8467074b03b0b41dc4c)
- W szczególności, gdy
jest miarą probabilistyczną (tj.
jest przestrzenią probabilistyczną), nierówność tę można zapisać w postaci
![{\displaystyle \mathbb {E} |XY|\leqslant \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\;\;(X\in L_{p}(P),Y\in L_{q}(P)).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5164bf0b1d2755e4cc7671f176cc3590e90771)
- gdzie symbol
oznacza wartość oczekiwaną.