Liczby trójkątne

Liczba trójkątna ${\displaystyle T_{n}}$ – liczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów. Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną ${\displaystyle T_{0}=0,}$ odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

Sześć pierwszych liczb trójkątnych (bez ${\displaystyle T_{0}}$)

(ciąg A000217 w OEIS).

Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych, początkowych liczb naturalnych:

${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\ldots +n.}$

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu arytmetycznego^[1]:

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},}$

gdzie ${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$ jest symbolem Newtona:

Liczba ${\displaystyle T_{n}}$ jest liczbą różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru ${\displaystyle (n+1)}$-elementowego, zatem ${\displaystyle n}$-ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla ${\displaystyle n+1}$ osób^[a].

Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że ${\displaystyle n}$ jest liczbą trójkątną wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle 8n+1}$ jest liczbą kwadratową^[2] .

Własności arytmetyczne

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:

różnica: ${\displaystyle T_{n+1}-T_{n}=n+1,}$

suma: ${\displaystyle T_{n+1}+T_{n}={(n+1)}^{2}.}$

Uogólnienia

Liczby trójkątne należą do rodziny liczb figurowych^[3][4] .

Uwagi

1. Zagadnienie przywitań (ang. handshake problem): w pomieszczeniu spotyka się ${\displaystyle N}$ osób, każda przywita się z każdą, ile będzie przywitań (handshake, dosł. podań ręki)?