Liczba mierzalna

Liczba mierzalna – nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ na której istnieje ${\displaystyle \kappa }$-zupełny niegłówny ultrafiltr. Liczba rzeczywiście mierzalna to nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ na której istnieje ${\displaystyle \kappa }$-addytywna miara, która znika na punktach i która mierzy wszystkie podzbiory ${\displaystyle \kappa .}$

Liczby mierzalne są punktem wyjściowym dla części hierarchii dużych liczb kardynalnych związanej z zanurzeniami elementarnymi V w modelu wewnętrznym M.

Rys historyczny

• W 1905 Giuseppe Vitali podał przykład podzbioru liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ który nie może być mierzalny względem żadnej przeliczalnie addytywnej miary niezmienniczej na przesunięcia (zbiór Vitalego).
• Stefan Banach sformułował następujący problem: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara μ mierząca wszystkie podzbiory ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i znikająca na punktach.
• W 1929 Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski wykazali, że przy założeniu CH taka miara nie istnieje^[1].
• W 1930 Stanisław Ulam^[2] wykazał, że każda rzeczywiście mierzalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna. W tym samym artykule Ulam rozważał miary o wartościach w ${\displaystyle \{0,1\}}$ wprowadzając tak pojęcie liczby mierzalnej.

Definicje

Niech ${\displaystyle \kappa }$ będzie liczbą kardynalną.

• ${\displaystyle \kappa }$-addytywna miara na ${\displaystyle \kappa }$ to taka funkcja

${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {P}}(\kappa )\longrightarrow [0,1],}

że

(a) ${\displaystyle \mu (\kappa )=1,}$ ale ${\displaystyle \mu (\{x\})=0}$ dla każdego ${\displaystyle x\in \kappa ,}$ oraz

(b) jeśli ${\displaystyle \{A_{\alpha }:\alpha <\lambda \}\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )}$ jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów ${\displaystyle \kappa }$ oraz ${\displaystyle \lambda }$ < ${\displaystyle \kappa ,}$ to

${\displaystyle \mu \left(\bigcup \limits _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }\right)=\sum \limits _{\alpha <\lambda }\mu (A_{\alpha }):=\sup {\Bigg \{}\sum _{i\in I}\mu (A_{i}):I}$ jest skończonym podzbiorem ${\displaystyle \lambda {\Bigg \}}.}$

• Filtr ${\displaystyle F}$ podzbiorów zbioru ${\displaystyle S}$ jest

(i) ${\displaystyle \kappa }$-zupełny jeśli przekrój mniej niż ${\displaystyle \kappa }$ zbiorów z ${\displaystyle F}$ należy do ${\displaystyle F,}$

(ii) filtrem głównym jeśli ${\displaystyle F=\{X\subseteq S:A\subseteq X\}}$ dla pewnego zbioru ${\displaystyle A\subseteq S.}$

Nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą rzeczywiście mierzalną jeśli istnieje ${\displaystyle \kappa }$-addytywna miara na ${\displaystyle \kappa .}$ Nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą mierzalną jeśli istnieje ${\displaystyle \kappa }$-addytywna miara na ${\displaystyle \kappa }$ o wartościach w {0,1}. Jeśli

${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {P}}(\kappa )\longrightarrow \{0,1\}}

jest ${\displaystyle \kappa }$-addytywną miarą na ${\displaystyle \kappa ,}$ to

${\displaystyle U=\{A\subseteq \kappa$ :\mu (A)=1\}}

jest ${\displaystyle \kappa }$-zupełnym niegłównym ultrafiltrem na ${\displaystyle \kappa .}$ Każdy taki ultrafiltr wyznacza też odpowiednią miarę. Zatem nieprzeliczalna liczba kardynalna ${\displaystyle \kappa }$ jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ${\displaystyle \kappa }$-zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów ${\displaystyle \kappa .}$ (To ostatnie sformułowanie jest najczęściej używaną definicją liczby mierzalnej.)

Przykładowe własności

• Każda liczba mierzalna jest rzeczywiście mierzalna.
• W ZFC każda liczba rzeczywiście mierzalna jest granicą liczb słabo nieosiągalnych a każda liczba mierzalna jest liczbą silnie nieosiągalną. Zatem nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby rzeczywiście mierzalne. Natomiast jeśli ZF jest niesprzeczne, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby rzeczywiście mierzalne” jest niesprzeczna.
• Zakładając ZF+AD:
  1. ${\displaystyle \aleph _{1}}$ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem) oraz
  2. ${\displaystyle \aleph _{2}}$ jest liczbą mierzalną.
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na analityczne podzbiory ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ są zdeterminowane^[3].
• Robert M. Solovay^[4] udowodnił, że

(i) Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą mierzalną, to pewne pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {P} }$ forsuje że

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\kappa }$ i ${\displaystyle \kappa }$ jest rzeczywiście mierzalna.

(ii) Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą rzeczywiście mierzalną, to ${\displaystyle \kappa }$ jest mierzalna w pewnym modelu wewnętrznym ZFC.

• Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą mierzalną oraz ${\displaystyle 2^{\lambda }=\lambda ^{+}}$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej ${\displaystyle \lambda <\kappa ,}$ to również ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}.}$
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP.

Przypisy

1. Banach, S.; Kuratowski, C.: Sur une généralisation du problème de la mesure. „Fundamenta Mathematicae” 14 (1929), s. 127–131.
2. Ulam, S.: Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. „Fundamenta Mathematicae” 16 (1930), s. 140–150.
3. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. „Fundamenta Mathematicae” 66 (1969/1970), s. 287–291.
4. Solovay, R.M.: Real-valued measurable cardinals. „Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)”, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397–428.