Kryterium Gaussa

Kryterium Gaussa – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

(A)

o wyrazach dodatnich. Jeżeli istnieją takie liczby ${\displaystyle a,b>0}$ oraz ciąg ograniczony ${\displaystyle (c_{n})}$ o tej własności, że dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$ zachodzi związek

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=a+{\frac {b}{n}}+{\frac {c_{n}}{n^{2}}},}$

to

• szereg (A) jest zbieżny, gdy ${\displaystyle a>1}$ lub ${\displaystyle a=1}$ oraz ${\displaystyle b>1;}$
• szereg (A) jest rozbieżny, gdy ${\displaystyle a<1}$ lub ${\displaystyle a=1}$ oraz ${\displaystyle b\leqslant 1}$^[1].

Przykład zastosowania

Niech ${\displaystyle p>0}$ oraz niech dany będzie szereg

${\displaystyle 1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{p}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{p}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!}{2n!!}}\right)^{p}+\ldots }$

Jest on zbieżny gdy ${\displaystyle p>2}$ oraz rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, z zastosowania wzoru Taylora wynika, że

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\left({\frac {2n}{2n-1}}\right)^{p}=\left(1-{\frac {1}{2n}}\right)^{p}=1+{\frac {p}{2n}}+{\frac {p(p+1)}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{(2n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right).}$

Wynika stąd, że

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\tfrac {p}{2}}{n}}+{\frac {c_{n}}{n^{2}}},}$

gdzie ciąg ${\displaystyle (c_{n})}$ jest ograniczony^[1].

Dowód

Przypadki, gdy ${\displaystyle a>1}$ lub ${\displaystyle a<1}$ wynikają z zastosowania kryterium d’Alemberta, gdyż

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{a}}.}$

Niech zatem ${\displaystyle a=1.}$ Wówczas stosując kryterium Raabego:

${\displaystyle R_{n}=n\cdot \left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)=b+{\frac {c_{n}}{n}},}$

które rozstrzyga zbieżność szeregu (A) gdy ${\displaystyle b>1}$ lub ${\displaystyle b<1.}$ Niech więc ${\displaystyle b=1.}$ W tym przypadku, szereg (A) jest rozbieżny, gdyż stosując kryterium Bertranda:

${\displaystyle B_{n}=\ln n\left(n\cdot \left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)-1\right)={\frac {\ln n}{n}}\cdot c_{n},}$

dostaje się

${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }B_{n}=0}$^[1].

Przypisy

1. Fichtenholz 1966 ↓, s. 241.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.